스털링 수

개요

• <math>s(n,k)</math> 제1종 스털링 수

<math>(x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}</math>

• <math>S(n,k)</math> 제2종 스털링 수

<math>x^{k}=\sum_{j}S(k,j)(x)_j</math>

제1종 스털링 수

• 정의

<math>(x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}</math>

• 예

<math>(x)_3=x(x-1)(x-2)=2x-3x^2+x^3</math>

<math>s(3,0)=0, s(3,1)=2,s(3,2)=-3,s(3,3)=1</math>

• 점화식

<math>

s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k) </math>

제2종 스털링 수

• n개 원소를 갖는 집합을 k개의 블록으로 분할하는 방법의 수 <math>S(n,k)</math>
• 제2종 스털링 수

<math>x^{n}=\sum_{j}S(n,j)(x)_j</math>

• 예

<math>x^3 = (x)_1+3(x)_2+(x)_3=x+3x(x-1)+x(x-1)(x-2)</math>

<math>S(3,0)=0, S(3,1)=1,S(3,2)=3,s(3,3)=1</math>

• 점화식

<math>

S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k) </math>

• 생성함수

<math>\sum_{k}S(k,n)x^k=\frac{x^n}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-nx)}</math>

• 지수생성함수

<math>\sum_{k}\frac{S(k,n)}{k!}x^k=\frac{(e^x-1)^{n}}{n!}</math>

벨 수열 (Bell number)과의 관계

• http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number
• <math>B(n)=\sum_{k}S(n,k)</math>
• 집합 <math>\{1,2,\cdots,n\}</math> 의 분할의 개수

<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.</math>

메모

• Zhao, Wei, Jianrong Zhao, and Shaofang Hong. “The 2-Adic Valuations of Differences of Stirling Numbers of the Second Kind.” arXiv:1407.8443 [math], July 31, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.8443.

관련된 항목들

• 차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxRVJuQTh1QnZKMnc/edit

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_number

메타데이터

위키데이터

• ID : Q816063

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'bell'}, {'LEMMA': 'number'}]