아이코시안 (icosian)

수학노트
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개요

  • 아이코시안 군과 아이코시안 환


아이코시안 군

  • 사원수의 부분군으로 크기는 120이며 다음과 같은 벡터의 좌표에 짝치환을 적용하여 얻어지는 원소들로 구성
  • 8개 \(\frac{1}{2}(\pm 2,0,0,0)\)
  • 16개 \(\frac{1}{2}(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)\)
  • 96개 \(\frac{1}{2}(0,\pm 1,\pm \sigma,\pm \tau)\), 여기서 \(\sigma=\frac{1-\sqrt{5}}{2},\tau=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)


아이코시안 환

  • 계수를 \(\mathbb{Z}[\sqrt{5}]\)에서 갖는 사원수들이 이루는 환 \(\mathscr{I}\)
  • E8 격자에 isometric


아이코시안과 \(E_8\)

  • 아이코시안 군 \(G\)는 120개의 원소를 갖는다
  • \(\sigma G:=\{\sigma s|s\in G\}\)라 두자. 여기서 \(\sigma=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
  • \(G\cup \sigma G\)의 240개 원소와 E8 루트 시스템 사이에 일대일대응이 존재하며, 이는 아이코시안 환의 유클리드 norm에 대하여 등장(isometric)이다
  • \(G\cup \sigma G\)의 원소들을 다음 8개의 원소들을 이용하여 정수계수 선형결합으로 쓰면, 아래의 테이블을 얻는다

\[ \{\sigma \{-1,\tau ,-\sigma ,0\},\{-\tau ,1,0,\sigma \},\{0,-\tau ,1,-\sigma \},\{0,-\sigma ,-\tau ,1\},-\{-1,-\sigma ,0,\tau \},\sigma \{-\sigma ,-\tau ,0,-1\},\sigma \{0,-\sigma ,-\tau ,1\},-\{-1,-\tau ,\sigma ,0\}\} \]

테이블

아이코시안 (icosian)1.png

메모


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Biggs, Norman. “The Icosian Calculus of Today.” Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A. Mathematical and Physical Sciences 95, no. suppl. (1995): 23–34.


관련논문

  • Moody, R. V., and J. Patera. “Quasicrystals and Icosians.” Journal of Physics. A. Mathematical and General 26, no. 12 (1993): 2829–53.
  • Wilson, Robert A. "The geometry of the Hall-Janko group as a quaternionic reflection group." Geometriae Dedicata 20.2 (1986): 157-173.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'icosian'}]
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