여러겹 쪽거리에 대한 생각 정리 - 보충

실은 여러겹 쪽거리(multifractal)를 α와 f(α)로 표현할 때 빠지지 않는 그림이 있는데 그걸 지금까지 귀찮아서;;; 보여주지 못했습니다. 아래 그림이 그것입니다.

앞 글에서 소개한 두 눈금 칸토어 집합을 생각하면 위 그림을 이해하는데 도움이 될 겁니다. 위의 곡선에서 빨간색으로 나타낸 세 개의 점이 주요하게 관심을 가졌던 것들입니다. 각각 D₀, D_∞, D_-∞입니다. 그런데 보시다시피 q에 따라 α가 D가 되는 경우도 있고 f가 D가 되는 경우도 있습니다. 아래 식을 봐도 알 수 있죠.

\(D_q=\frac{q\alpha(q)-f(\alpha(q))}{q-1}\)

이미 앞 글에서 정리한대로, q가 양의 무한대라는 건 두 눈금 칸토어 집합에서 맨 왼쪽 조각의 쪽거리 차원만 보겠다는 거고, q가 음의 무한대라는 건 맨 오른쪽 조각만 보겠다는 거죠. 맨 왼쪽 조각은 단 1개, 맨 오른쪽 조각도 단 1개일테니 조각의 개수에 관한 지수인 f는 둘 다 0이 되는 게 맞고, 또한 이때의 α가 D_q의 양쪽 극한이 되는 겁니다.

q가 0이라는 건 방문 확률(p)을 더이상 고려하지 않되 (분배함수에서) 가장 비중이 높은 조각들만 보겠다는 건데요, D₀은 하우스도르프 차원(Hausdorff dimension)이라 불리기도 합니다. 역시 위의 그림에서 보듯이 이 값은 f(α) 곡선에서 최대값에 해당합니다. 왜 그런지는 얘기했고, 일단 아래 수식을 보겠습니다.

\(\frac{df(\alpha)}{d\alpha}=q\)

이 조건 역시 '가장 비중이 높은 조각들'이라는 조건에서 나옵니다. q가 0이면 f의 기울기가 0이고 f의 최대값임을 뜻하죠. 물론 두 번 미분한 값이 음수여야 한다는 조건이 더 붙어야 하지만요. 그리고 이 식에 의해 양끝의 빨간 점에서 f의 기울기는 무한대가 된다는 것도 알 수 있죠. 사실 위 그림을 그렇게 그리려고 했으나 파워포인트 기술이 부족하여 대충 그렸습니다.

그럼, 여러겹 쪽거리 얘기는 이쯤에서 접고 다른 공부/연구를 해야겠습니다.