연속 방정식

수학노트
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개요

  • 국소적인 보존(local conservation) ~ 연속방정식
  • \(\partial_{\mu} j^{\mu}=0\)
  • 싱크와 소스가 있는 경우는 약간의 수정이 필요함


notation

  • Q : charge (e.g. electric charge or a mass of fluid)
  • \(\rho\) : charge density (density of some abstract fluid)
    • \(\rho\) 가 상수인 경우, fluid를 incompressible이라 한다
  • \(\mathbf{J}=(j_x,j_y,j_z)\) : current density (velocity x charge density)
  • V : arbitrary three dimensional region bounded by the closed surface S



local conservation

  • V 내부에서 Q가 줄어드는 비율\[-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV\]
  • Q-current 의 곡면 S에 대한 flux\[\iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}\]
  • local conservation 은 두 양이 같음을 의미함\[-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV = \iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}\]
  • 우변에 발산 정리(divergence theorem) 를 적용하면,\[-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV = \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\,dV\]
  • 임의의 V에 대하여 성립하므로, 다음을 얻는다\[\frac{d\rho}{dt} + \nabla\cdot\mathbf{J}=0\]
  • 이를 연속방정식이라 부른다
  • \(\rho=j_0\) 로 두어, \(\mathbf{j}=(j^0,j^1,j^2,j^3)\) 에 대하여 \(\partial_{\mu} j^{\mu}=0\) 의 형태로 쓰기도 한다



보존량

  • V \[\mathbf{J}=(j_x,j_y,j_z)\] 이 되도록 하는 충분히 큰 공간
  • total electric charge 또는 total mass in fluid 에 대한 다음과 같은 보존법칙을 얻는다\[Q(t)=\int_V \rho \,dV\] 는 일정하다 또는\[\frac{dQ}{dt}=0\]



맥스웰 방정식과 연속방정식

  • 맥스웰 방정식 으로부터 연속방정식을 유도할 수 있다
  • 전하 밀도\({\rho} \) (for point charge, density will be a Dirac delta function)
  • 전류 밀도\(\mathbf{J}=(J_x,J_y,J_z)\)
  • 전류 4-vector\[(j^a) = \left( c \rho, \mathbf{J} \right)\]
  • 4-vector gradient\[ \partial_\alpha= \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right) \]
  • 앙페르-패러데이 법칙과 가우스 법칙이 사용된다.

증명

앙페르-패러데이 법칙에서 시작하자 \[\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \] 에 divergence 연산자를 적용하여, \[\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{B} ) = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t}\] \[ \nabla \cdot \mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf{E})}{\partial t} = 0\]


가우스 법칙 \[\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\] 을 적용하면, \[ \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\] 을 얻는다.

이는 \(\partial_{\mu} j^{\mu}=0\) 로 쓸 수 있다



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