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| − | * [[유리함수의 부정적분]]은 인수분해를 통하여 가능하므로, 이러한 형태의 적분 문제를 완전히 이해하는 셈이 된다 | + | * [[유리함수의 부정적분]]은 인수분해를 통하여 가능하므로, 이러한 형태의 적분 문제를 완전히 이해하는 셈이 된다 |
| − | * [[이차곡선(원뿔곡선)|이차곡선]]<math>y^2=ax^2+bx+c</math>를 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math>로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다 | + | * [[이차곡선(원뿔곡선)|이차곡선]]<math>y^2=ax^2+bx+c</math>를 유리함수 <math>f,g</math>를 사용하여 <math>x=f(t), y=g(t)</math>로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다 |
| − | * [[삼각치환]]이 잘 작동하는 이유를 설명해준다 | + | * [[삼각치환]]이 잘 작동하는 이유를 설명해준다 |
| − | * [[타원적분]]론을 공부하기 전에 이해하면 도움이 된다 | + | * [[타원적분]]론을 공부하기 전에 이해하면 도움이 된다 |
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* <math>a>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x</math> 로 치환 | * <math>a>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x</math> 로 치환 | ||
| − | * 예:<math>\int\sqrt{x^2-4}\,dx</math>:<math>\sqrt{x^2-4}=t-x</math>:<math>x=\frac{4+t^2}{2t}</math>:<math>\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt</math | + | * 예:<math>\int\sqrt{x^2-4}\,dx</math>:<math>\sqrt{x^2-4}=t-x</math>:<math>x=\frac{4+t^2}{2t}</math>:<math>\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt</math> |
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* <math>c>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}</math> 로 치환 | * <math>c>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}</math> 로 치환 | ||
| − | * 예:<math>\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx</math>:<math>\sqrt{1-x^2}=xt+1</math>:<math>x=\frac{2t}{t^2+1}</math>:<math>\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt</math | + | * 예:<math>\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx</math>:<math>\sqrt{1-x^2}=xt+1</math>:<math>x=\frac{2t}{t^2+1}</math>:<math>\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt</math> |
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| − | * 예:<math>\int\sqrt{x^2-4}\,dx</math>:<math>\sqrt{x^2-4}=t(x-2)</math>:<math>x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}</math>:<math>\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt</math | + | * 예:<math>\int\sqrt{x^2-4}\,dx</math>:<math>\sqrt{x^2-4}=t(x-2)</math>:<math>x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}</math>:<math>\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt</math> |
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| − | * 유리함수 R에 대한 <math>R(x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})</math> 의 부정적분:<math>\int R (x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\,dx</math | + | * 유리함수 R에 대한 <math>R(x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})</math> 의 부정적분:<math>\int R (x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\,dx</math> 단, <math>x^3+ax^2+bx+c</math>는 서로 다른 해를 가짐 |
| − | * 곡선 <math>y^2=x^3+ax^2+bx+c</math>는 위에서처럼 적당한 유리함수 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 로 매개화할 수 없기 때문에, 이야기가 달라지게 된다 | + | * 곡선 <math>y^2=x^3+ax^2+bx+c</math>는 위에서처럼 적당한 유리함수 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 로 매개화할 수 없기 때문에, 이야기가 달라지게 된다 |
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* Courant, Richard. 1988. Differential and Integral Calculus. John Wiley & Sons. | * Courant, Richard. 1988. Differential and Integral Calculus. John Wiley & Sons. | ||
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2020년 11월 12일 (목) 22:17 기준 최신판
개요
- \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)형태의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수치환 \(x=x(t)\)
- 유리함수의 부정적분은 인수분해를 통하여 가능하므로, 이러한 형태의 적분 문제를 완전히 이해하는 셈이 된다
- 이차곡선\(y^2=ax^2+bx+c\)를 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\)로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다
- 삼각치환이 잘 작동하는 이유를 설명해준다
- 타원적분론을 공부하기 전에 이해하면 도움이 된다
오일러 치환
제1오일러 치환
- \(a>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\) 로 치환
- 예\[\int\sqrt{x^2-4}\,dx\]\[\sqrt{x^2-4}=t-x\]\[x=\frac{4+t^2}{2t}\]\[\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\]
제2오일러 치환
- \(c>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\) 로 치환
- 예\[\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx\]\[\sqrt{1-x^2}=xt+1\]\[x=\frac{2t}{t^2+1}\]\[\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt\]
제3오일러 치환
- \(ax^2+bx+c=0\)가 두 실근u,v를 가질때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)\)로 치환
- 예\[\int\sqrt{x^2-4}\,dx\]\[\sqrt{x^2-4}=t(x-2)\]\[x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}\]\[\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\]
타원적분
- 유리함수 R에 대한 \(R(x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\) 의 부정적분\[\int R (x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\,dx\] 단, \(x^3+ax^2+bx+c\)는 서로 다른 해를 가짐
- 곡선 \(y^2=x^3+ax^2+bx+c\)는 위에서처럼 적당한 유리함수 \(x=f(t), y=g(t)\) 로 매개화할 수 없기 때문에, 이야기가 달라지게 된다
- 타원적분
역사
메모
- 미적분학은 사소하지 않다
- http://www.goiit.com/posts/list/integration-euler-s-substitution-354.htm
- http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html
- 삼각치환
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://planetmath.org/encyclopedia/EulersSubstitutionsForIntegration.html
관련도서
- Courant, Richard. 1988. Differential and Integral Calculus. John Wiley & Sons.