원분다항식의 해법
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개요
- 원분다항식(cyclotomic polynomial) 은 가해군(solvable group) 을 갈루아 군으로 가지므로, 근호를 사용하여 해를 표현할 수 있다
- 라그랑지 resolvent 를 사용하여 이 과정을 구체적으로 수행할 수 있다
n=11 인 경우의 예
- http://books.google.com/books?id=0bH6SUHSvloC&pg=PA24%20#%20v=onepage&q&f=false 참조
- 다음의 원분다항식(cyclotomic polynomial) 을 생각하자.\[x^{11}-1=(x-1) \left(x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\right)\]
- \(x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0\) 의 해 \(\alpha\)를 근호를 사용하여 표현하려 한다
- \(\beta\)는 \(\beta^{10}=1\) 를 만족시키는 primitive root of unity, 즉 \(\beta ^4-\beta ^3+\beta ^2-\beta +1=0\) 이라 두자.
- 다음과 같은 라그랑지 resolvents 를 사용하자\[t_i=\alpha +\alpha ^2 \beta ^i+\alpha ^4 \beta ^{2 i}+\alpha ^8 \beta ^{3 i}+\alpha ^5 \beta ^{4 i}+\alpha ^{10} \beta ^{5 i}+\alpha ^9 \beta ^{6 i}+\alpha ^7 \beta ^{7 i}+\alpha ^3 \beta ^{8 i}+\alpha ^6 \beta ^{9 i}\] 여기서 \(i=1,2,\cdots, 10\)
- (정리)\[t_{i}t_{1}^{10-i}\]는 \(\beta\) 만을 사용하여 표현할 수 있다
- 예를 들면\[t_1^{10}=42470+98020 \beta -88540 \beta ^2-17590 \beta ^3-925 \beta ^4-37654 \beta ^5-760 \beta ^6+1880 \beta ^7-32770 \beta ^8+35870 \beta ^9\]\[t_2t_1^{8}=7690-19480 \beta -5092 \beta ^2+9648 \beta ^3-6610 \beta ^4+30328 \beta ^5+9703 \beta ^6-10856 \beta ^7-13012 \beta ^8-2320 \beta ^9\]\[t_3t_1^7=-2773-5776 \beta +923 \beta ^2-925 \beta ^3-2080 \beta ^4+2386 \beta ^5-298 \beta ^6-463 \beta ^7+11549 \beta ^8-2542 \beta ^9\]
- 따라서 모든 \(t_i\) 를 \(\beta\)와 근호들을 사용하여 표현할 수 있다
- \(\beta ^4-\beta ^3+\beta ^2-\beta +1=0\) 을 이용하면, \(t_1+t_2+t_3+t_4+t_5+t_6+t_7+t_8+t_9+t_{10}=10\alpha\) 임을 알 수 있다.\[\alpha =\frac{1}{10}\left(t_1+\cdots +t_{10}\right)\]
- 그러므로 \(x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0\) 의 해 \(\alpha\)를 \(\beta\)와 근호들을 사용하여 표현할 수 있다
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=