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* 일반적인 형태의 이차곡선 <math>ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0,(b\neq 0)</math> 이 주어진 경우, 회전변환을 이용하여 <math>xy</math> 항을 없앨 수 있다
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* 일반적인 형태의 이차곡선 <math>ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0,(b\neq 0)</math> 이 주어진 경우, 회전변환을 이용하여 <math>xy</math> 항을 없앨 수 있다
 
* [[대칭행렬의 대각화]] 로 이해할 수 있다
 
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==이차형식과 회전변환==
 
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<math>\cot (2 \theta )=\frac{a-c}{b}</math> 이 되도록 하는 <math>\theta</math>를 찾으면, <math>B=0</math>이 된다. (<math>b=0</math> 인 경우는 물론 이러한 작업이 필요하지 않다)
  
 
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* [[포락선(envelope)과 curve stitching]] 에서 얻어진 곡선 <math>x^2-2 x y-20 x+y^2-20 y+100=0</math>가 포물선임을 보이려 한다
 
* [[포락선(envelope)과 curve stitching]] 에서 얻어진 곡선 <math>x^2-2 x y-20 x+y^2-20 y+100=0</math>가 포물선임을 보이려 한다
 
[[파일:9431928-parabola2.gif]]
 
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* <math>a=c=1</math> 이므로, <math>\theta</math>에 대한 다음 방정식을 얻는다:<math>\cot (2 \theta )=\frac{a-c}{b}=0</math>
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* <math>a=c=1</math> 이므로, <math>\theta</math>에 대한 다음 방정식을 얻는다:<math>\cot (2 \theta )=\frac{a-c}{b}=0</math>
 
* <math>\theta=\pi/4</math> 는 이 방정식의 해이므로, <math>x\to X \cos (\theta )-Y \sin (\theta ),y\to X \sin (\theta )+Y \cos (\theta )</math> 즉:<math>x\to \frac{X}{\sqrt{2}}-\frac{Y}{\sqrt{2}},y\to \frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{2}}</math> 를 이용할 수 있다
 
* <math>\theta=\pi/4</math> 는 이 방정식의 해이므로, <math>x\to X \cos (\theta )-Y \sin (\theta ),y\to X \sin (\theta )+Y \cos (\theta )</math> 즉:<math>x\to \frac{X}{\sqrt{2}}-\frac{Y}{\sqrt{2}},y\to \frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{2}}</math> 를 이용할 수 있다
 
* <math>10 \sqrt{2} X=Y^2+50</math> 를 얻는다
 
* <math>10 \sqrt{2} X=Y^2+50</math> 를 얻는다
  
 
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
* [[수학사 연표]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
==메모==
 
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
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==관련된 항목들==
 
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* [[대칭행렬의 대각화]]
 
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZDUzMTM1NDItNGUzNC00NTk5LTk1OTYtMGUzMThiODAzN2Q3/edit
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZDUzMTM1NDItNGUzNC00NTk5LTk1OTYtMGUzMThiODAzN2Q3/edit

2020년 12월 28일 (월) 03:51 기준 최신판

개요

  • 일반적인 형태의 이차곡선 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0,(b\neq 0)\) 이 주어진 경우, 회전변환을 이용하여 \(xy\) 항을 없앨 수 있다
  • 대칭행렬의 대각화 로 이해할 수 있다



이차형식과 회전변환

이차형식 \(a x^2+b x y+c y^2\)에 \(x\to X \cos (\theta )-Y \sin (\theta ),y\to X \sin (\theta )+Y \cos (\theta )\) 를 대입하면,

이차형식 \(A X^2+B X Y+C Y^2\) 를 얻으며, 이 때의 계수는

\(A=\frac{1}{2} (a \cos (2 \theta )+a+b \sin (2 \theta )-c \cos (2 \theta )+c)\)

\(B=-a \sin (2 \theta )+b \cos (2 \theta )+c \sin (2 \theta )\)

\(C=\frac{1}{2} (a (-\cos (2 \theta ))+a-b \sin (2 \theta )+c \cos (2 \theta )+c)\)

이다.


\(\cot (2 \theta )=\frac{a-c}{b}\) 이 되도록 하는 \(\theta\)를 찾으면, \(B=0\)이 된다. (\(b=0\) 인 경우는 물론 이러한 작업이 필요하지 않다)



9431928-parabola2.gif

  • \(a=c=1\) 이므로, \(\theta\)에 대한 다음 방정식을 얻는다\[\cot (2 \theta )=\frac{a-c}{b}=0\]
  • \(\theta=\pi/4\) 는 이 방정식의 해이므로, \(x\to X \cos (\theta )-Y \sin (\theta ),y\to X \sin (\theta )+Y \cos (\theta )\) 즉\[x\to \frac{X}{\sqrt{2}}-\frac{Y}{\sqrt{2}},y\to \frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{2}}\] 를 이용할 수 있다
  • \(10 \sqrt{2} X=Y^2+50\) 를 얻는다



메모



관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스