이토와 스트라토노비치2

지난 글에서 이어집니다. 좀더 간단한 경우를 생각해봅시다.

\(\frac{dy(t)}{dt}=y(t)\eta(t)\)

사실 이게 원래 부쇼-메자르 모형의 평균장 어림 버전이죠. 그리고 이런 식으로 변수와 노이즈의 곱 형태로 씌어지는 걸 곱하는 노이즈(multiplicative noise)로 부른다고 한 적이 있습니다. 이걸 이토 해석(Ito sense에서 sense를 '해석'으로 옮겼는데 적절한지 모름;;;)과 스트라토노비치 해석(이름 길고 키보드 두드리기도 어려움;;;)으로 각각 풀어서 씁니다. 이토부터 씁니다.

\(y(t+\Delta t)-y(t)=xy(t),\ x\equiv\int_t^{t+\Delta t}\eta(t')dt'\)

이로부터

\(y(t+\Delta t)=(1+x)y(t)\)

가 나오죠. 다음으로 스트라토노비치는...

\(y(t+\Delta t)-y(t)=x\frac{y(t)+y(t+\Delta t)}{2}\to y(t+\Delta t)=\frac{1+x/2}{1-x/2}y(t)\)

입니다. x에 관한 부분을 왠지 전개하고 싶어집니다.

\(\frac{1+x/2}{1-x/2}=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots\)

즉, x가 양수든 음수든 스트라토노비치 해석의 결과로 인한 y의 변화가 이토 해석에 의한 것보다 더 큽니다. 그리고 바로 이 x의 제곱항이 지난 글에서 보였던 노이즈의 분산에 해당합니다.

사실 이렇게 수식을 풀지 않아도 얻을 수 있는 결과입니다. y가 양수일 때를 먼저 봅시다. 어떤 갑툭튀 노이즈가 양수면, y도 커지겠죠. 이토의 경우 다음 순간의 y는 노이즈가 가해지기 전 y에만 비례해서 커지지만, 스트라토노비치의 경우 노이즈가 가해진 후의 y(즉 노이즈 가해지기 전의 y보다 큰 값)까지 미리 고려하여 그에 비례해 커지므로 후자가 전자보다 더 큰 값을 갖습니다. 노이즈가 음수면, 이토의 경우 노이즈 전의 y에만 비례해서 작아지지만, 스트라토노비치의 경우 노이즈 후의 y까지 미리 고려하여 그에 비례해 작아집니다. 즉 줄어드는 폭이 줄어듭니다. 이 경우도 후자의 경우 y가 더 큰 변화를 보입니다.

y가 처음부터 음수인 경우, 또는 y의 부호가 노이즈에 의해서 왔다갔다 하는 경우...는 좀더 복잡해지겠네요. 넘어갑시다;;; 그리고 지금은 이전 글에서 C(y) = y인 경우에 해당하는데 C(y)가 y에 단조롭기만 하다면 위의 논의를 일반화해도 문제 없겠죠.