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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> |
* [[이항계수와 조합]] | * [[이항계수와 조합]] | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">개요</h5> |
* n개의 서로 다른 물건에서 r개를 선택하는 방법<br><math>_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}</math><br> | * n개의 서로 다른 물건에서 r개를 선택하는 방법<br><math>_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}</math><br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">생성함수</h5> |
* [[생성함수]]<br><math>(1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n</math><br> | * [[생성함수]]<br><math>(1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n</math><br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">점화식</h5> |
* n에 대한 이항계수를 통해, <math>n+1</math>에 대한 이항계수를 유도할 수 있음<br><math>{n\choose r-1}+{n\choose r}={n+1\choose r}</math><br> | * n에 대한 이항계수를 통해, <math>n+1</math>에 대한 이항계수를 유도할 수 있음<br><math>{n\choose r-1}+{n\choose r}={n+1\choose r}</math><br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">이항계수의 합</h5> |
<math>2^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r} = {n\choose 0} + {n\choose 1} + \cdots + {n\choose n}</math> | <math>2^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r} = {n\choose 0} + {n\choose 1} + \cdots + {n\choose n}</math> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">파스칼의 삼각형</h5> |
* [[파스칼의 삼각형]]<br> | * [[파스칼의 삼각형]]<br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">이항계수의 q-analogue</h5> |
* [[q-이항정리|q-이항계수와 q-이항정리]] 항목 참조<br> | * [[q-이항정리|q-이항계수와 q-이항정리]] 항목 참조<br> | ||
* [[팩토리얼(factorial)]]의 q-analogue<br><math>[n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} =\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}</math><br><math>_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}</math><br><math>{{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}</math><br> | * [[팩토리얼(factorial)]]의 q-analogue<br><math>[n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} =\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}</math><br><math>_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}</math><br><math>{{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}</math><br> | ||
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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<h5>사전 형태의 자료</h5> | <h5>사전 형태의 자료</h5> | ||
| − | * http://ko.wikipedia.org/wiki/이항계수 | + | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%AD%EA%B3%84%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/이항계수][http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%AD%EA%B3%84%EC%88%98http://en.wikipedia.org/wiki/binomial_coefficient ] |
* http://en.wikipedia.org/wiki/binomial_coefficient | * http://en.wikipedia.org/wiki/binomial_coefficient | ||
* http://www.wolframalpha.com/input/?i= | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
* http://mathworld.wolfram.com/BinomialSums.html | * http://mathworld.wolfram.com/BinomialSums.html | ||
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
| − | * [http://www.research.att.com/ | + | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br> |
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
2011년 12월 28일 (수) 18:20 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- n개의 서로 다른 물건에서 r개를 선택하는 방법
\(_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}\) - 조합(combination)이라고도 함
- 조합수학에서 가장 기본적이며 중요한 수열의 하나
- 중요한 성질
- palindromic
- unimodality
- palindromic
생성함수
- 생성함수
\((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)
점화식
- n에 대한 이항계수를 통해, \(n+1\)에 대한 이항계수를 유도할 수 있음
\({n\choose r-1}+{n\choose r}={n+1\choose r}\)
이항계수의 합
\(2^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r} = {n\choose 0} + {n\choose 1} + \cdots + {n\choose n}\)
(증명)
\((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)
\(x=1\)을 대입 ■
\(n 2^{n-1}= \sum_{r=0}^{n} r {n\choose r}=0 {n\choose 0} + 1 {n\choose 1} + \cdots + r {n\choose r} + \cdots + n {n\choose n}\)
- 예
\(80= 5 \times 2^4 = 0 {5\choose 0} + 1 {5\choose 1} + 2 {5\choose 2} +3 {5\choose 3} +4 {5\choose 4} + 5 {5\choose 5}\)
파스칼의 삼각형
이항계수의 q-analogue
- q-이항계수와 q-이항정리 항목 참조
- 팩토리얼(factorial)의 q-analogue
\([n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} =\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}\)
\(_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}\)
\({{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}\)
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/이항계수[1]
- http://en.wikipedia.org/wiki/binomial_coefficient
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://mathworld.wolfram.com/BinomialSums.html
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
관련도서 및 추천도서
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관련기사
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