이항계수와 조합
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개요
- n개의 서로 다른 물건에서 r개를 선택하는 방법
\(_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}\) - 조합(combination)이라고도 함
- 조합수학에서 가장 기본적이며 중요한 수열의 하나
- palindrom
- unimodality
생성함수
- 생성함수
\((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)
점화식
- n에 대한 이항계수를 통해, \(n+1\)에 대한 이항계수를 유도할 수 있음
\({n\choose r-1}+{n\choose r}={n+1\choose r}\)
이항계수의 합
\(2^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r} = {n\choose 0} + {n\choose 1} + \cdots + {n\choose n}\)
\(n 2^{n-1}= \sum_{r=0}^{n} r {n\choose r}=0 {n\choose 0} + 1 {n\choose 1} + \cdots + r {n\choose r} + \cdots + n {n\choose n}\)
파스칼의 삼각형
고교수학에 조합(combination)이라는 개념이 있다. 1부터 42 까지 숫자 중에서 6개를 뽑는 방법의 수를 세는 것 같은 상황에서 쓰는 개념이 조합이다. n개의 서로 다른 물건에서 r개를 선택하는 방법은
\(_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}\)
으로 주어진다.
내가 고딩일 때 배울때는 \(_n C_r\) 라는 기호로 배웠지만, 대학에 와서 지금까지 공부를 하다보니, 업계의 선수들은 \( {n\choose r}\) 라는 기호를 더 애용하니, 여기서는 그렇게 쓰도록 하겠다.
이렇게 조합을 정의하고 나면, 꼭 나오는 문제 중에 이런게 있다.
\(\sum_{r=0}^{n} {n\choose r} = {n\choose 0} + {n\choose 1} + \cdots + {n\choose n}\)
을 계산하라.
가령 n=5 라고 한다면, 1부터 5까지 중에서 0개 뽑는 법, 1개 뽑는 법, …. 5개 뽑는법 다 더하면 얼마인가 묻는건데, 1+5+10+10+5+1=32 됨을 확인할 수 있다. 문제를 잘 들여다 보면, 결국 다섯개 원소를 갖는 집합의 부분집합의 개수는 모두 얼마인가 하는 문제와 같다는 것을 알 수 있다. 그러므로, 1이 들어가는 경우 안들어가는 경우, 2가 들어가는 경우 안들어가는 경우, …, 5개 들어가는 경우 안들어가는 경우 해서 모두 \(2^5\)가 되는 것이다.
일반적인 n에 대해서도 마찬가지로 답은 \(2^n\)이 된다.
그러나 내가 회고하는 명장면이란 이러한 풀이가 아니라 바로, 다음 식을 이용하는 것이 되겠다.
\((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)
이 식에다가 x=1을 대입하면, 곧바로
\(2^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r} = {n\choose 0} + {n\choose 1} + \cdots + {n\choose n}\)
이 됨을 알 수 있다.
여기서 눈을 바로 뜨고 보아야 할 핵심은 자연수의 더하기 문제에다가 함수를 끌어들였다는 것이다. 이러한 생각의 파워를 느끼기 위해서는 다음과 같은 문제를 생각해 볼 필요가 있다.
\(\sum_{r=0}^{n} r {n\choose r} = 0 {n\choose 0} + 1 {n\choose 1} + \cdots +r {n\choose r} + \cdots + n {n\choose n}\)
는 얼마인가?
n=5 인 경우에 대해서 노가다 계산을 해보면,
\(\sum_{r=0}^{5} r {5\choose r} = 0 {5\choose 0} + 1 {5\choose 1} + 2 {5\choose 2} +3 {5\choose 3} +4 {5\choose 4} + 5 {5\choose 5} =0+5+20+30+20+5=80\)
과 같다.
위에서 언급한 식을 사용해 보자면,
\((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)
의 양변을 미분하면,
\(n(1+x)^{n-1}=\sum_{r=0}^{n} r {n\choose r}x^{r-1} =0 {n\choose 0} + 1 {n\choose 1} + \cdots + r {n\choose r}x^{r-1} + \cdots + n {n\choose n}x^{n-1}\)
을 얻고, 여기에 x=1을 대입할 경우,
\(n(1+1)^{n-1}=n 2^{n-1}= \sum_{r=0}^{n} r {n\choose r}=0 {n\choose 0} + 1 {n\choose 1} + \cdots + r {n\choose r} + \cdots + n {n\choose n}\)
을 얻게 된다. n=5를 넣어보면, 다시
\( 80= 5 \times 2^4 = 0 {5\choose 0} + 1 {5\choose 1} + 2 {5\choose 2} +3 {5\choose 3} +4 {5\choose 4} + 5 {5\choose 5}\)
를 얻을 수 있다.
더하기 문제에다가 함수를 끌어들여서 미분 적분의 파워를 활용하는 것이 이 방법론의 핵심이다. 아이디어가 쌈빡하지 않은가??
상황을 좀더 일반화 해서 요약을 하자면 다음과 같다.
1. 수열 \(\{a_r\}\)이 주어져 있다.(유한수열일 수도 있고, 무한수열 일수도 있다)
위에서 다뤘던 경우는 수열이
\(a_r = {n \choose r}\)
로 정의된 유한수열이다.
2. 수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열이면 다항식)
\(f(x)=\sum_{r=0}^{\infty} a_r x^r\)
그래서 우리의 경우는
\(f(x)= {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)
를 만들었다.
3. 함수를 구한다.
우리의 경우에는 함수가
\( f(x)=(1+x)^n\)
이 된다.
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/binomial_coefficient
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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