이항계수와 조합

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 12월 23일 (수) 20:29 판
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개요
  • n개의 서로 다른 물건에서 r개를 선택하는 방법
    \(_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}\)
  • 조합(combination)이라고도 함
  • 조합수학에서 가장 기본적이며 중요한 수열의 하나
  • 중요한 성질
    • palindromic
    • unimodality

 

 

생성함수
  • 생성함수
    \((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)

 

 

점화식
  • n에 대한 이항계수를 통해, \(n+1\)에 대한 이항계수를 유도할 수 있음
    \({n\choose r-1}+{n\choose r}={n+1\choose r}\)

 

 

 

이항계수의 합

\(2^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r} = {n\choose 0} + {n\choose 1} + \cdots + {n\choose n}\)

(증명)

\((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)

\(x=1\)을 대입 ■

 

\(n 2^{n-1}= \sum_{r=0}^{n} r {n\choose r}=0 {n\choose 0} + 1 {n\choose 1} + \cdots + r {n\choose r} + \cdots + n {n\choose n}\)

 

 

  • 예
    \(80= 5 \times 2^4 = 0 {5\choose 0} + 1 {5\choose 1} + 2 {5\choose 2} +3 {5\choose 3} +4 {5\choose 4} + 5 {5\choose 5}\)

 

 

파스칼의 삼각형

 

 

이항계수의 q-analogue
  • q-이항계수와 q-이항정리 항목 참조
  • 팩토리얼(factorial)의 q-analogue
    \([n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} =\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}\)
    \(_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}\)
    \({{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}\)

 

 

재미있는 사실

 

 

 

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