"자연수의 약수의 합"의 두 판 사이의 차이
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<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}}\right) \left(1 - x^{3m-2}}\right)</math> | <math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}}\right) \left(1 - x^{3m-2}}\right)</math> | ||
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2009년 11월 29일 (일) 12:04 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 자연수 \(n\)에 대하여, 1부터 n까지의 양의 정수 중에 \(n\)의 약수인 수의 합
- \(\sigma(n)\) 으로 나타냄
\(\sigma(n)=\sum_{d|n}d\) - 더 일반적으로 \(n\)의 약수인 수의 \(r\)거듭제곱의 합도 정의 됨
\(\sigma_r(n)=\sum_{d|n}d^r\) - 곱셈에 대하여 좋은 성질을 가짐
- 분할수에 대한 연구에서 자연스럽게 등장함
- 모듈라 형식(modular forms)인 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)의 계수로 나타남
성질
- 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\sigma(mn)=\sigma(m)\sigma(n)\)
- 소수 \(p\) 에 대하여, \(\sigma(p^{k}) = \frac{p^{k+1}-1}{p-1}\)
점화식
(정리)
\(\sigma(k)\)은 다음 공식을 만족한다.
\(k\)가 오각수가 아닌 경우
\(\sigma(k) =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots\)
\(k\)가 오각수 즉 \(k=\frac{j(3j\pm 1)}{2}\) 꼴로 주어진 경우
\(\sigma(k) + (-1)^{j}k =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots\)
(증명)
생성함수를 다음과 같이 두자.
\(A(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n\)
오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)를 활용하자.
\(f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}}\right) \left(1 - x^{3m-2}}\right)\)
위의 우변에 로그미분을 취한 다음 \(-x\)를 곱하면,
\(-x\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{3mx^{3m}}{1-x^{3m}}+\frac{(3m-1)x^{3m-1}}{1-x^{3m-1}}+\frac{(3m-2)x^{3m-2}}{1-x^{3m-2}}=A(x)\)
따라서
\(A(x)f(x)=-xf'(x)\)를 얻는다.
\(A(x)f(x)=(\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n)(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)\) 이므로
\(x^k\)의 계수는 \(\sigma(k)-(\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots)\) 로 주어진다.
한편,
\(-xf'(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^{k+1}\frac{k(3k-1)}{2}x^{k(3k-1)/2}\) ■
- 오각수가 아닌 경우의 예
- \(\sigma(10)=18\)
- \(\sigma(9) + \sigma(8)-\sigma(5)-\sigma(3)=13+15-6-4=18\)
- \(\sigma(20)=42\)
- \(\sigma(19) + \sigma(18)-\sigma(15)-\sigma(13)+\sigma(8)+\sigma(5)=20+39-24-14+15+6=42\)
- 오각수인 경우의 예
- \(\sigma(5)+5=6+5=11\)
- \(\sigma(4) + \sigma(3)=7+4=11\)
- \(\sigma(12)-12=28-12=16\)
- \(\sigma(11) + \sigma(10)-\sigma(7)-\sigma(5)=12+18-8-6=16\)
- 분할수의 점화식과의 유사성을 눈여겨볼 것
\(p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\)
20까지 자연수의 약수의 합 목록
- \(n\)과 \(\sigma(n)\)의 값
1 1
2 3
3 4
4 7
5 6
6 12
7 8
8 15
9 13
10 18
11 12
12 28
13 14
14 24
15 24
16 31
17 18
18 39
19 20
20 42
- 100까지 자연수의 약수의 합 목록 항목 참조
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Recurrences for the Sum of Divisors
- John A. Ewell, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 64, No. 2 (Jun., 1977), pp. 214-218
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://dx.doi.org/
관련도서 및 추천도서
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관련기사
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