정칙특이점(regular singular points)

개요

선형미분방정식\[\frac{d^n w}{dz^n} + A_1(z)\frac{d^{n-1}w}{dz^{n-1}} + \cdots + A_{n-1}(z)\frac{dw}{dz} + A_n(z)w=0\]
선형미분방정식의 특이점을 다음과 같이 분류함
- 특이점이 아닌경우 ordinary point
- 정칙특이점 (regular singular point)
- 비정칙특이점 (irregular singular point)
특이점 \(z=a\) 근방에서, 미분방정식의 해가 함수 \((z-a)^{\alpha}\log^{k} (z-a), \alpha\in\mathbb{C}, k=0,1,2,\cdots\) 들의 해석함수를 계수로 갖는 선형결합으로 쓰여지는 경우, \(z=a\)를 정칙특이점이라 한다
각 \(A_{i}(z)\)가 \(z=a\)에서 기껏해야 order가 i 인 pole을 가지는 경우, z=a가 정칙특이점이 되는 것과 동치이다

이계 선형 미분방정식\[\frac{d^2w}{dz^2}+p(z)\frac{dw}{dz}+q(z)w=0\]
위의 미분방정식이 \(z=a\)에서 정칙특이점을 갖는 것은 \(p(z),q(z)\) 가 \(z=a\) 근방에서 다음과 로랑급수를 가질 조건과 동치이다\[p(z)=\frac{a_{-1}}{z-a}+a_0+a_1(z-a)+a_2(z-a)^{2}+\cdots\]\[q(z)=\frac{b_{-2}}{(z-a)^2}+\frac{b_{-1}}{z-a}+b_0+b_1(z-a)+b_2(z-a)^{2}+\cdots\]
\(z=\infty\) 인 경우는 \(u=1/z\) 로 치환하여, \(u=0\)에서 \(Y(u):=Y(1/z)=w(z)\)가 만족하는 다음 미분방정식으로 특이점을 판단

\[ Y''(u)+\frac{\left(2 u-p\left(\frac{1}{u}\right)\right) Y'(u)}{u^2}+\frac{q\left(\frac{1}{u}\right) Y(u)}{u^4}=0 \]