맴돌이군과 미분방정식

수학노트
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개요



로그함수와 맴돌이

오일러 미분방정식

로그함수를 이해하는 또다른 관점에 대하여 생각해 보려 한다.

복소함수 \(y(z)\)에 대한 오일러 미분방정식 을 생각해보자.

\[z^2\frac{d^2y}{dz^2}+\alpha z\frac{dy}{dz}+\beta y=0\]

이 미분방정식은 원점 즉, \(z=0\)에서 정칙특이점을 가진다.


로그함수에 대하여 생각하고 있으므로, 특별히 \(\alpha=1\), \(\beta=0\) 인 간단한 경우를 생각해 보자.

\[z\frac{d^2y}{dz^2}+ \frac{dy}{dz}=0\]


미분방정식의 해

이계 선형 미분방정식 이므로 \(z=1\) 근방의 공간에서 두 개의 일차독립인 해가 존재한다.


두 함수 \(y_1=1\)과 \(y_2=\log z\) (국소적으로 생각하고 있으므로, \(y_2(1)=0\) 인 로그함수의 가지(branch)를 선택) 가 미분방정식의 \(z=1\) 근방에서의 해공간의 기저가 된다.

\(y_1'=0\)이므로 미분방정식의 해이다. 또, \(y_2'=1/z\), \(y_2''=-1/z^2\)이므로 역시 미분방정식의 해이다.

즉 이 미분방정식의 \(z=1\) 근방의 모든 해는 적당한 복소수 \(c_1,c_2\)에 대하여 \(y(z)=c_1+c_2\log z=c_1y_1+c_2y_2\)의 형태로 쓸 수 있다.


해석적확장과 맴돌이

이제 이렇게 얻어진 미분방정식의 해를 가지고, 해석적확장을 할 때 생기는 현상에 대하여 생각해보자.

1은 해석함수(analytic function)이므로, 어떤 경로를 따라서 움직이든 해석적확장(analytic continuation) 에 의해 변하지 않는다. 즉 원점 주위를 한바퀴 반시계방향으로 회전하며 해석적확장을 해도 \(1 =1 \cdot y_1+0 \cdot y_2\) 으로 남아 있다.

한편, 미분방정식의 특이점인 \(z=0\) 즉, 원점 주위를 \(z=1\)에서 시작하여 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 \(y_1=\log z\)를 해석적으로 확장하여 같은 자리로 돌아오는 경우, 복소로그함수에서 보았듯이 \(2\pi i\)만큼 다른 값을 가지는 새로운 함수 \(\log z+2\pi i=2\pi i\cdot y_1+1 \cdot y_2\) 를 얻게 된다.


따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로는, 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 해공간을 변화시키는 선형사상으로 이해할 경우, 미분방정식의 해공간의 기저 \(y_1,y_2\)에 대하여 행렬 \[\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\] 에 대응된다.


한바퀴 도는 경우가 행렬 \[\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]에 대응되므로, 두바퀴 도는 경우는 \[\begin{pmatrix} 1 & 4\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\] 세바퀴 도는 경우는 \[\begin{pmatrix} 1 & 6\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\] 거꾸로 한바퀴 도는 경우는 \[\begin{pmatrix} 1 & -2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\] ... 에 대응된다.


일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 하며 얻어지는 원점 주변에 놓인 닫힌 루프에 대응되는 행렬들, 즉 준동형사상(homomorphism) \[\pi_1(\mathbb{C}\backslash \{0\}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})\] 를 미분방정식에 대한 맴돌이 표현(monodromy representation)이라 하며, 이 때의 치역(image)을 맴돌이군(monodromy group)이라 한다. 이러한 개념들을 이해해야, ‘Proof of the Existence of Linear Differential Equations Having a Prescribed Monodromic Group’ (http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert’s_twenty-first_problem)에 접근할 수 있다.

즉 오일러 미분방정식의 특별한 경우인 \[z\frac{d^2y}{dz^2}+ \frac{dy}{dz}=0\] 의 맴돌이군은 따라서 정수들이 이루는 군 \(\mathbb{Z}\)가 된다.


복소로그함수를 이해하려면 앞에서처럼 리만곡면에서 정의되는 함수로 이해하든지, 아니면 이렇게 미분방정식과 그 맴돌이군을 통해 이해하던지 그때그때 필요한대로 선택하면 된다.


벡터다발 (vector bundle)과 접속, local system

  • $\mathbb{C}^\times$와 trivial rank 2 bundle $\cal{O}_{\mathbb{C}^\times}^2$
  • 접속 (connection)

$$ \nabla \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} = d\begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & 0 \cr 1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} \frac{dz}{z} = \begin{pmatrix} df_1 \cr df_2 - f_1 \frac{dz}{z} \end{pmatrix} $$

  • $f=\begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix}$가 horizontal section이 될 조건은 $\nabla f = 0$로 주어지며, 이는 다음의 미분방정식과 동치이다

$$ f_2''+\frac{f_2'}{z}=0 $$

  • 단순연결된 공간 $U\subseteq \mathbb{C}^\times$에서, 해를 다음과 같이 표현할 수 있다

$$ \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \cr A \log z + B \end{pmatrix} $$

타원적분과 맴돌이

미분방정식


선형독립인 해

\(w_1(z)=w(z)\)와 \(w_2=w(1-z)\)는 이 미분방정식의 선형독립인 두 해이다 미분방정식의 특이점을 분석하면, \(w_1(z)\)와 \[w_2(z)+\frac{1}{\pi}w_1(z)\log z\] 는 \(z=0\)에서 해석함수이고,\(w_1(1-z)=w_2(z)\)와 \[w_2(1-z)+\frac{1}{\pi}w_1(1-z)\log (1-z)=w_1(z)+\frac{1}{\pi}w_2(z)\log (1-z)\] 는 \(z=1\)에서 해석함수임을 알수있다


미분방정식의 모노드로미

미분방정식의 해의 기저 \(\{w_1,iw_2\}\)에 대하여 다음과 같은 모노드로미 표현을 얻을 수 있다

  • \(z=0\) 주변의 루프는

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]

  • \(z=1\) 주변의 루프는

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.\] 따라서 미분방정식의 모노드로미군은 \(\Gamma(2)\)가 된다

역사



메모

관련된 항목들



수학용어번역

  • monodromy - 대한수학회 수학용어집
  • bundle - 대한수학회 수학용어집


사전 형태의 자료

관련논문

  • Jonathan D. Hauenstein, Jose Israel Rodriguez, Frank Sottile, Numerical computation of Galois groups, arXiv:1605.07806 [math.AG], May 25 2016, http://arxiv.org/abs/1605.07806