정팔면체 뫼비우스 변환군

수학노트
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개요

  • 정팔면체의 대칭은 대칭군 \(S_4\)
  • \(G_{24}=\langle S,T|S^4=T^3=(TS)^2=1\rangle\subset \operatorname{PSL}(2,\mathbb{C})\)



생성원

\(\sqrt{2}S=\left( \begin{array}{cc} 1+I & 0 \\ 0 & 1-I \end{array} \right)\) order 4

\(2T=\left( \begin{array}{cc} 1+i & -1+i \\ 1+i & 1-i \end{array} \right)\) order 3

\(W=TS\) : order 3



정팔면체 뫼비우스 변환군의 불변량

  • vertex points
    • \(V=F_1=z_1 z_2 \left(z_1^4-z_2^4\right)\)
  • face points
    • \(F=F_2=z_1^8+14 z_1^4 z_2^4+z_2^8\)
  • edge points
    • \(E=F_3=z_1^{12}-33 z_1^8 z_2^4-33 z_1^4 z_2^8+z_2^{12}\)
  • syzygy relation\[108F_1^4- F_3^2+F_3^2=0\] 또는 \(108V^4-F^3+E^2=0\)
  • \(F_2=HF_1\)
  • \(F_3=JF_1\)



메모



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