지수함수로 거듭제곱 꼴 만들기

무슨 요리법 같네요. 사실 예전에 무질서한 접촉 과정을 소개할 때 연속적으로 변하는 임계지수를 유도하면서 말한 적이 있습니다. 앞 글에서 지수함수로 펼쳐진 지수함수를 만들었으니, 이런 맥락에서 다시 소개도 하고 다른 경우도 생각해보려고 합니다.

\(\rho(t)\sim \int ds s P(s) e^{-t/\tau_s},\ P(s)\sim e^{-pL^d},\ \tau_s\sim L^z\sim s^{z/d}\)

앞 글에 쓴 식인데요, 이 식에서는 두 가지 가정을 썼죠. 크기가 L이고 질량이 s(~L^d)인 각 덩어리는 풀림시간(τ_s)이 L의 z 제곱에 비례한다는 가정과, 질량이 s인 덩어리의 개수를 전체 덩어리 수로 나눈 비율 P(s)가 s의 지수함수 꼴이라는 가정입니다. P(s)는 그대로 쓰되, 풀림시간은 s의 지수함수에 비례한다는 가정을 이용합니다. 이번에는 굳이 s를 L로 나타낼 필요가 없습니다.

\(\rho(t)\sim \int ds s P(s) e^{-t/\tau_s},\ P(s)\sim e^{-ps},\ \tau_s\sim e^{as}\)

역시 풀면,

\(\rho(t)\sim t^{-p/a}\)

이 됩니다. 거듭제곱 지수 p / a는 원하는대로 조절할 수 있고 이로부터 임계지수가 연속적으로 변하는 것도 가능해집니다. 지수함수를 어떻게 더하느냐에 따라 펼쳐진 지수함수도 되고 거듭제곱 함수도 됩니다. 둘의 차이는 풀림시간이 s의 거듭제곱 꼴이냐 지수함수 꼴이냐이죠. 거듭제곱보다 지수함수가 s에 따라 더 빠르게 증가하기 때문에 그 덩어리의 입자 밀도는 훨씬 더 느리게 감소합니다. 다시 말해서 전체 입자 밀도의 꼬리가 두꺼워지는데 펼쳐진 지수함수의 꼬리보다 더 두꺼워져서 거듭제곱 꼴이 되는 거죠.

다음으로, 앞에서 만들어진 펼쳐진 지수함수를 잘 더하면 뭐가 나올까 하는 질문도 생깁니다.

\(\rho(t)\sim \int d\tau P(\tau) e^{-(t/\tau)^\alpha},\ P(\tau)\sim e^{-\tau^\beta}\)

이런 문제를 한 번 풀어봅시다. α는 0과 1 사이의 실수이고 β는 0보다 큰 실수라고 가정하고요.

\(\rho(t)\sim \exp[-at^{\alpha\beta/(\alpha+\beta)}]\)

a는 적절한 상수입니다. 지수가 α인 펼쳐진 지수함수를 더했더니 지수만 αβ / (α + β)로 달라진 펼쳐진 지수함수가 나왔습니다. 그런데,

\(\alpha>\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta}\)

이므로 꼬리가 더 두꺼워졌다는 걸 알 수 있죠. 사실 거듭제곱 꼴이 나오기를 기대했으나 그러지 않았습니다. 굳이 거듭제곱으로 만들고 싶으면 P(τ)를 거듭제곱 꼴로 넣어주면 되기는 하지만, 이때는 원래 펼쳐진 지수함수를 더하나, 그냥 지수함수를 더하나 마찬가지이므로 재미있는 건 아닙니다. 여기까지 하겠습니다.