체커보드의 원근법

수학노트
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개요

  • 체커보드 또는 pavimenti 그리기
  • 원근법이 사용된 그림에서 바닥의 정사각형 타일을 많이 볼 수 있다 (예를 들면, 베르미어의 여러 작품들)
  • 그리기를 진행하다보면 여러 개의 점이 한 직선 위에 놓여있는 것(공선성, collinearity)과 같은 자명하지 않은 수학적 현상을 만나게 된다
  • 여러 점들의 공선성은 데자르그의 정리 등 사영기하학의 주요 결과를 이용하여 보일 수 있음


체커보드

6442087-checkerboard.jpg

위의 장면을 특정한 위치에서 바라보며 그림으로 옮긴다면, 다음과 같이 될 것이다.

6442087-Checkerboard.gif


그림을 그리는 절차와 수학적 질문

그림을 그리는 절차에 대해서 생각해 보자. 다음과 같은 그림에서 시작하자. 이는 두 평행선이 지평선에서 만나도록 하여 하나의 정사각형을 그린 것이다.

체커보드의 원근법1.png

격자를 그림으로 옮기기 위해 기존의 그림에 새로운 직선을 추가하는 원칙은 단순하다 :

  1. 정사각형으로 구성된 체커보드에서 여러 직선들이 서로 만나는 점은 그림 속에서도 그 직선들이 만나는 점으로 그려져야 한다. (이는 당연한 원칙이다. 수학적으로 말하자면 incidence 관계의 보존)
  2. 모든 평행선은 지평선 (초록색 선)에서 만난다. (이것은 그다지 당연하지 않은 원근법의 핵심에 있는 원칙이다)

위의 그림에 새로운 빨간색 선을 아래와 같이 추가한다.

체커보드의 원근법2.png

파란색 선을 다음과 같이 추가한다.

체커보드의 원근법3.png

노란색 선을 다음과 같이 추가한다.

체커보드의 원근법4.png

이제 아래의 그림에 빨간색 선을 하나 더 추가하려는 순간, 우리는 다음과 같은 자명하지 않은 수학적 질문을 마주하게 된다.

세 점 A,B,C는 한 직선 위에 놓여 있는가?

체커보드의 원근법4.5.png

이는 원근법이 일관성있는 그리기의 법칙이 되기 위해서는 수학적 원리에 의해 정당화될 필요가 있다는 것을 의미한다.

체커보드의 원근법5.png


동영상

Floor.gif

공선성(collinearity)의 증명

  • 데자르그의 정리를 반복 적용하여 보일 수 있다
  • 아래 그림에서 나타나는 두 삼각형 ABC와 abc 는 중심배경(central perspectivity) 또는 축배경(axial perspectivity) 에 놓여있다

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메모


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에세이, 강의노트


관련도서

  • Stillwell, John. Yearning for the Impossible: The Surprising Truths of Mathematics. Peters, 2006.


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