"클라우센 함수(Clausen function)"의 두 판 사이의 차이

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<math>\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{2k\pi}{n})</math>
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* <math>\theta=p\pi/q</math>일 때, [[트리감마 함수(trigamma function)]]를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있<math>\operatorname{Cl}_2(\frac{p\pi}{q})=\frac{1}{4q^2}\sum_{r=1}^{2q-1}\psi^{(1)}(\frac{r}{2q})\sin\frac{rp\pi}{q}</math><br><math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))</math><br>
 
  
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* <math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math><br>
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*   <br><math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))</math><br> 여기서 <math>\psi^{(1)}</math>는 트리감마(trigamma)함수.<br><math>G</math>는 [[카탈란 상수]]<br>
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">트리감마 함수와 special values</h5>
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* <math>\theta=p\pi/q</math>일 때, (<math>p,q\in\mathbb{N}</math>, <math>p=1,2,\cdots,2q-1</math>)<br><math>\operatorname{Cl}_2(\frac{p\pi}{q})=\frac{1}{4q^2}\sum_{r=1}^{2q-1}\psi^{(1)}(\frac{r}{2q})\sin\frac{rp\pi}{q}</math><br> 여기서 <math>\psi^{(1)}</math>는 [[트리감마 함수(trigamma function)]]<br>
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* <math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math>, <math>G</math>는 [[카탈란 상수]]<br>
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*   <br><math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))</math><br>
 
* http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html<br>
 
* http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html<br>
  

2010년 7월 31일 (토) 17:46 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 정의
    \(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)

 

 

 

dilogarithm 함수와의 관계
  • dilogarithm 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
  • \(\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)
    \(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
  • \(z=e^{i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때
    \(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\)
    \(\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)\)

 

 

 

덧셈공식

\(\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{2k\pi}{n})\)

 

 

트리감마 함수와 special values

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

\(\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)\)

 

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수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

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