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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> |
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* 정의<br><math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br> | * 정의<br><math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br> | ||
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| + | * 는 복소수 <math>|z|<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨 | ||
* <math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math><br><math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속<br> | * <math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math><br><math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속<br> | ||
| − | * <math>z=e^{i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math> 일때<br><math>\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}</math><br><math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)</math><br> | + | * <br><math>z=e^{i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math> 일때<br><math>\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}</math><br><math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)</math>[[블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)|]]<br> |
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<math>\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{2k\pi}{n})</math> | <math>\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{2k\pi}{n})</math> | ||
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* <math>\theta=p\pi/q</math>일 때, (<math>p,q\in\mathbb{N}</math>, <math>p=1,2,\cdots,2q-1</math>)<br><math>\operatorname{Cl}_2(\frac{p\pi}{q})=\frac{1}{4q^2}\sum_{r=1}^{2q-1}\psi^{(1)}(\frac{r}{2q})\sin\frac{rp\pi}{q}</math><br> 여기서 <math>\psi^{(1)}</math>는 [[트리감마 함수(trigamma function)]]<br> | * <math>\theta=p\pi/q</math>일 때, (<math>p,q\in\mathbb{N}</math>, <math>p=1,2,\cdots,2q-1</math>)<br><math>\operatorname{Cl}_2(\frac{p\pi}{q})=\frac{1}{4q^2}\sum_{r=1}^{2q-1}\psi^{(1)}(\frac{r}{2q})\sin\frac{rp\pi}{q}</math><br> 여기서 <math>\psi^{(1)}</math>는 [[트리감마 함수(trigamma function)]]<br> | ||
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<math>\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)</math> | <math>\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)</math> | ||
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* [[트리감마 함수(trigamma function)]]<br> | * [[트리감마 함수(trigamma function)]]<br> | ||
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i= | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
| − | * [http://www.research.att.com/ | + | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br> |
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
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* [http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/50/023515/1 A dilogarithmic integral arising in quantum field theory]<br> | * [http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/50/023515/1 A dilogarithmic integral arising in quantum field theory]<br> | ||
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* [http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/49/093508/1 Evaluation of a ln tan integral arising in quantum field theory]<br> | * [http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/49/093508/1 Evaluation of a ln tan integral arising in quantum field theory]<br> | ||
** Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 093508 (2008); doi:10.1063/1.2981311 | ** Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 093508 (2008); doi:10.1063/1.2981311 | ||
| − | * [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_udi=B6TYH-4FM01DY-1&_mathId=mml206&_user=4420&_cdi=5619&_pii=S0377042705000154&_rdoc=1&_issn=03770427&_acct=C000059607&_version=1&_userid=4420&md5=6b9447739891f5d15aa022b55b859ef5 ][http://dx.doi.org/10.1016/0377-0427 | + | * [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_udi=B6TYH-4FM01DY-1&_mathId=mml206&_user=4420&_cdi=5619&_pii=S0377042705000154&_rdoc=1&_issn=03770427&_acct=C000059607&_version=1&_userid=4420&md5=6b9447739891f5d15aa022b55b859ef5 ][http://dx.doi.org/10.1016/0377-0427%2884%2990008-6 Formulae concerning the computation of the Clausen integral Cl2(θ)]<br> |
** C.C. Grosjean, <em style="line-height: 2em;">J. Comput. Appl. Math.</em> '''11''' (1984), pp. 331–342 | ** C.C. Grosjean, <em style="line-height: 2em;">J. Comput. Appl. Math.</em> '''11''' (1984), pp. 331–342 | ||
* [http://dx.doi.org/10.1016/0377-0427%2884%2990007-4 On the Clausen integral Cl2(Θ) and a related integral]<br> | * [http://dx.doi.org/10.1016/0377-0427%2884%2990007-4 On the Clausen integral Cl2(Θ) and a related integral]<br> | ||
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2012년 6월 1일 (금) 11:01 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 정의
\(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)
- 로그 사인 적분 (log sine integrals) 으로 일반화된다
- 로바체프스키 함수 와의 관계
\(Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)\)
dilogarithm 함수와의 관계
- #
- 는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
- \(\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)
\(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속 -
\(z=e^{i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때
\(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\)
\(\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)\)[[블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)|]] - 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)
덧셈공식
\(\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{2k\pi}{n})\)
트리감마 함수와 special values
- \(\theta=p\pi/q\)일 때, (\(p,q\in\mathbb{N}\), \(p=1,2,\cdots,2q-1\))
\(\operatorname{Cl}_2(\frac{p\pi}{q})=\frac{1}{4q^2}\sum_{r=1}^{2q-1}\psi^{(1)}(\frac{r}{2q})\sin\frac{rp\pi}{q}\)
여기서 \(\psi^{(1)}\)는 트리감마 함수(trigamma function) - \(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\), \(G\)는 카탈란 상수
- \(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))\)
- http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
\(\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)\)
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Clausen_function
- http://mathworld.wolfram.com/ClausensIntegral.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- A dilogarithmic integral arising in quantum field theory
- Djurdje Cvijović, J. Math. Phys. 50, 023515 (2009)
- On a three-dimensional symmetric Ising tetrahedron and contributions to the theory of the dilogarithm and Clausen functions
- Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 043510 (2008); doi:10.1063/1.2902996
- Evaluation of a ln tan integral arising in quantum field theory
- Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 093508 (2008); doi:10.1063/1.2981311
- [1]Formulae concerning the computation of the Clausen integral Cl2(θ)
- C.C. Grosjean, J. Comput. Appl. Math. 11 (1984), pp. 331–342
- On the Clausen integral Cl2(Θ) and a related integral
- P. J. de Doelder, J. Comput. Appl. Math. 11, 325 (1984)
- Efficient Calculation of Clausen's Integral
- Van E. Wood, Mathematics of Computation, Vol. 22, No. 104 (Oct., 1968), pp. 883-884
관련도서
- 도서내검색
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관련기사
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