"클라우센 함수(Clausen function)"의 두 판 사이의 차이

2012년 11월 2일 (금) 08:47 판

정의
\(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)

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는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
\(\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)
\(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
\(z=e^{i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때
\(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\)
\(\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)\)블로흐-비그너 다이로그
블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)

\(\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{2k\pi}{n})\)

\(\theta=p\pi/q\)일 때, (\(p,q\in\mathbb{N}\), \(p=1,2,\cdots,2q-1\))
\(\operatorname{Cl}_2(\frac{p\pi}{q})=\frac{1}{4q^2}\sum_{r=1}^{2q-1}\psi^{(1)}(\frac{r}{2q})\sin\frac{rp\pi}{q}\)
여기서 \(\psi^{(1)}\)는 트리감마 함수(trigamma function)
\(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\), \(G\)는 카탈란 상수
\(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))\)
http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html

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