하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형

수학노트
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개요

  • 스핀 개념을 통한 자성체에 관한 통계물리 모형의 하나
    • 상호작용 세기 \(J\)의 부호에 따라 강자성, 반강자성으로 구분
  • 해밀토니안을 대각화하는 문제가 중요
  • 베테 가설(Bethe ansatz) 이 적용되는 예
  • Sl(2)의 유한차원 표현론으로 생각하면, 스핀고리 모형을 이해하는 것은 \(V_{\omega_1}=\mathbb{C}^2\)에 대하여, 다음의 분해와 연관된다

\[ (V_{\omega_1})^{\otimes L}=\bigoplus_{0\le n \le L/2}b_n V_{(L-2n)\omega_1} \] 여기서 \(b_n=\binom{L}{n}-\binom{L}{n-1}\)


스핀과 파울리 행렬

\[\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}, \sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix},\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\]

  • 생성/소멸 연산자

\[\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}\pm i\sigma_{y}), \sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}, \sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\] \[[\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\]

  • 두 자리 치환 연산자

\[P_{ij}=\frac{\vec{\sigma}_{i}\cdot\vec{\sigma}_{j}+1}{2}\]



두 자리 해밀토니안의 유도

하이젠베르크 모형(스핀 1/2 XXX 모형)의 해밀토니안은 다음과 같습니다. \[H=-J\sum_{\langle ij\rangle}\vec S_i\cdot\vec S_j\]

이 모형의 해밀토니안은 이웃한 두 스핀 사이의 내적들의 합입니다. 여기서 두 '스핀'이라고 했는데 원래는 스핀연산자(spin operator)입니다. 스핀은 순전히 양자역학적인 개념이지만 '고전적 스핀'을 정의하여 쓰기도 합니다. 위키피디아에도 양자 스핀의 하이젠베르크 모형과 고전적 스핀의 하이젠베르크 모형이 따로 정리되어 있습니다. 이번 통계물리 겨울학교에서 양자 스핀의 하이젠베르크 모형을 유도하는 과정을 배웠는데요, 다른 책들을 참고하여 간단히 정리하려고 합니다.

두 개의 수소 원자가 가까이 있다고 합시다. 즉 양성자 두 개와 전자 두 개가 주어져 있고 각 전자는 각 양성자 주위에 존재합니다. 두 양성자의 위치는 고정되어 있으며 전자들의 활동범위가 겹칩니다. 두 전자는 쿨롱 상호작용을 하겠죠. 고전적으로는 두 전자를 구분할 수 있으므로 두 전자가 움직이다가 충돌해 튕겨나오더라도 어떤 놈이 어떤 놈인지 알 수 있습니다. 하지만 양자역학적으로는 두 전자를 구분할 수 없습니다. 거칠게 말해서, 불확정성 원리에 의해 위치와 운동량을 동시에 정확히 측정하기 힘들므로 두 전자가 충돌 후 튕겨나왔을 때 어떤 놈이 어떤 놈인지 불확실해집니다. 아래 그림을 보세요.

이렇게 구분할 수 없는(indistinguishable) 입자들로 이루어진 시스템에는 치환대칭(permutation symmetry)이 존재합니다. 이를테면 똑같은 책이 두 권 나란히 놓여 있다면 어떤 걸 왼쪽에 놓아도 차이가 없겠죠. 이제 입자 두 개의 위치를 바꾸는 치환연산자(permutation operator)를 도입합니다.

\(P_{12}|k'k''\rangle=|k''k'\rangle\)

이 연산자에 의해 1번 입자는 k' 상태에 있다가 k 상태로 변하고 2번 입자는 k 상태에 있다가 k' 상태로 변합니다. 이 치환연산자를 두 번 적용하면 원래 상태로 돌아옵니다.

\(P_{12}^2|k'k''\rangle=|k'k''\rangle\)

이로부터 치환연산자의 고유값은 1 또는 -1임을 알 수 있습니다. 고유값이 1인 경우를 '대칭'이라 부르며 여기에 해당하는 입자를 보존(boson)이라고 합니다. 고유값이 -1인 경우는 '반대칭(antisymmetry)'이라고 하며 여기에 해당하는 입자를 페르미온(fermion)이라고 합니다. 각 입자가 k'과 k이라는 두 상태에만 있을 수 있다면 두 페르미온이 가질 수 있는 유일한 상태(즉 홑겹; singlet)는 다음과 같습니다.

\(\frac{1}{\sqrt{2}}(|k'k''\rangle-|k''k'\rangle)\)

두 보존이라면 세 상태(즉 세겹; triplet)를 가질 수 있습니다.

\(|k'k'\rangle,\ |k''k''\rangle,\ \frac{1}{\sqrt{2}}(|k'k''\rangle+|k''k'\rangle)\)

셋 중 앞의 둘에서 두 보존은 동일한 상태에 놓여 있습니다. 그에 반해 두 페르미온은 동일한 상태에 있을 수 없습니다. 이걸 파울리 배타원리(Pauli exclusion principle)라고 하죠. 누구와도 잘 지내는 사람은 보존이라 할 수 있고, 웬만해서는 다른 사람과 자리를 나누지 않는 사람은 페르미온이라 할 수 있습니다. (사쿠라이의 양자역학 책 362쪽에도 페르미온은 the least sociable, 보존은 the most sociable이라는 얘기가 나옵니다.)

위에서 k는 어떤 입자의 상태를 뜻한다고 했는데 한 입자의 '상태'는 위치와 스핀을 모두 포함합니다. 구체적으로, 한 입자의 파동함수는 위치에 관한 함수와 스핀에 관한 함수의 곱으로 씌어집니다. 앞서 말한 두 개의 수소 원자에 있는 두 개의 전자를 봅시다. 전자는 스핀 1/2인 입자이므로 스핀은 위(up; ↑) 또는 아래(down; ↓)의 상태만 갖습니다. 두 전자의 총스핀은 S=0과 S=1 두 가지이며, 0은 홑겹, 1은 세겹에 해당합니다.

전자의 위치에 따라 두 값의 에너지만 갖는다고 가정하겠습니다. 각 에너지를 Ea, Eb라 하고 각 에너지에 해당하는 상태를 간단히 a, b라고 하겠습니다. 두 전자가 같은 상태에 있을 가능성이 매우 낮다고 합시다. 에너지에 관한 대칭 상태와 반대칭 상태는 다음과 같이 씌어집니다.

\(\psi_S=\frac{1}{\sqrt{2}}(|ab\rangle+ |ba\rangle),\ \psi_A=\frac{1}{\sqrt{2}}(|ab\rangle - |ba\rangle)\)

여기서도 두 전자의 위치(에너지)를 바꾸면 부호가 그대로인 경우(대칭; S)와 반대인 경우(반대칭; A)가 나오도록 했습니다. 이제 두 전자의 쿨롱 상호작용(V)까지 고려한 해밀토니안을 쓰고 위치에 대해서만 대칭/반대칭인 경우의 총에너지를 구합니다.

\(H=H_1+H_2+V,\ \langle \alpha|H_i|\beta\rangle=E_\alpha\delta_{\alpha\beta}\)

\(E_S=\langle \psi_S|H|\psi_S\rangle=E_a+E_b+I+J\\ E_A=\langle \psi_A|H|\psi_A\rangle=E_a+E_b+I-J\)

\(I=\langle ab|V|ab\rangle,\ J=\langle ab|V|ba\rangle\)

페르미온이라면 전체 파동함수가 반대칭이어야 하므로 위치에 대한 파동함수가 대칭이고 스핀에 대한 파동함수가 반대칭이거나, 위치에 대한 파동함수가 반대칭이고 스핀에 대한 파동함수가 대칭이어야 합니다. 즉 에너지가 ES일 때 스핀은 반대칭, 즉 S=0이어야 하며, 에너지가 EA일 때 스핀은 대칭, 즉 S=1이어야 합니다. 이걸 하나의 식으로 나타냅니다.

\(E=E_S+(E_A-E_S)\frac{S(S+1)}{2}\)

S를 스핀연산자로 바꾸어봅니다.

\(S(S+1)\to \vec S\cdot\vec S=(\vec s_1+\vec s_2)\cdot (\vec s_1+\vec s_2)=2\vec s_1\cdot \vec s_2+\frac{3}{2}\)

\(H=const.-2J\vec s_1\cdot \vec s_2\)

앞의 상수를 날려버리고 뒤의 항만 보면 이게 바로 하이젠베르크 모형임을 알 수 있죠.

마지막으로 J를 다시 보겠습니다. 흔히 J를 그냥 상호작용 세기 정도로 부르기도 하는데, 위에서 보듯이 J는 두 전자의 위치를 바꿀 때 생기는 쿨롱 상호작용에 의한 에너지입니다. 그래서 '바꿈 상호작용(exchange interaction)'이 원래 이름입니다.


일반적인 경우의 해밀토니안

  • 길이가 L이고, 주기 경계 조건이 주어진 하이젠베르크 스핀 고리의 해밀토니안

\[ H = \sum_{j=1}^{L} (\sigma_j^x \sigma_{j+1}^x +\sigma_j^y \sigma_{j+1}^y + \sigma_j^z \sigma_{j+1}^z+1)=2(\sum_{j=1}^{L-1}P_{i,i+1}+P_{L,1}) \] 이 때, \[P_{ij}=\frac{\vec{\sigma}_{i}\cdot\vec{\sigma}_{j}+1}{2}\]는 치환연산자

  • 해밀토니안은 \(2^L \times 2^L\) 행렬로 생각할 수 있으며, \(L\)이 커지면 대각화는 어려운 문제가 된다


해밀토니안의 작용 예 \[L=4\] 인 경우

  • 16차원 공간에 작용하며, 위(up; ↑) 스핀의 개수 \(0\le n \le 4\)에 따라 분해


n=0

\begin{array}{c|c} v & H v \\ \hline |\downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \rangle & 4 |\downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \rangle \\ \end{array}

n=1

\begin{array}{c|c} v & H v \\ \hline |\uparrow \downarrow \downarrow \downarrow \rangle & |\downarrow \downarrow \downarrow \uparrow \rangle +|\downarrow \uparrow \downarrow \downarrow \rangle +2 |\uparrow \downarrow \downarrow \downarrow \rangle \\ |\downarrow \uparrow \downarrow \downarrow \rangle & |\downarrow \downarrow \uparrow \downarrow \rangle +2 |\downarrow \uparrow \downarrow \downarrow \rangle +|\uparrow \downarrow \downarrow \downarrow \rangle \\ |\downarrow \downarrow \uparrow \downarrow \rangle & |\downarrow \downarrow \downarrow \uparrow \rangle +2 |\downarrow \downarrow \uparrow \downarrow \rangle +|\downarrow \uparrow \downarrow \downarrow \rangle \\ |\downarrow \downarrow \downarrow \uparrow \rangle & 2 |\downarrow \downarrow \downarrow \uparrow \rangle +|\downarrow \downarrow \uparrow \downarrow \rangle +|\uparrow \downarrow \downarrow \downarrow \rangle \\ \end{array}


n=2

\begin{array}{c|c} v & H v \\ \hline |\uparrow \uparrow \downarrow \downarrow \rangle & |\downarrow \uparrow \downarrow \uparrow \rangle +|\uparrow \downarrow \uparrow \downarrow \rangle +2 |\uparrow \uparrow \downarrow \downarrow \rangle \\ |\uparrow \downarrow \uparrow \downarrow \rangle & |\downarrow \downarrow \uparrow \uparrow \rangle +|\downarrow \uparrow \uparrow \downarrow \rangle +|\uparrow \downarrow \downarrow \uparrow \rangle +|\uparrow \uparrow \downarrow \downarrow \rangle \\ |\uparrow \downarrow \downarrow \uparrow \rangle & |\downarrow \uparrow \downarrow \uparrow \rangle +2 |\uparrow \downarrow \downarrow \uparrow \rangle +|\uparrow \downarrow \uparrow \downarrow \rangle \\ |\downarrow \uparrow \uparrow \downarrow \rangle & |\downarrow \uparrow \downarrow \uparrow \rangle +2 |\downarrow \uparrow \uparrow \downarrow \rangle +|\uparrow \downarrow \uparrow \downarrow \rangle \\ |\downarrow \uparrow \downarrow \uparrow \rangle & |\downarrow \downarrow \uparrow \uparrow \rangle +|\downarrow \uparrow \uparrow \downarrow \rangle +|\uparrow \downarrow \downarrow \uparrow \rangle +|\uparrow \uparrow \downarrow \downarrow \rangle \\ |\downarrow \downarrow \uparrow \uparrow \rangle & 2 |\downarrow \downarrow \uparrow \uparrow \rangle +|\downarrow \uparrow \downarrow \uparrow \rangle +|\uparrow \downarrow \uparrow \downarrow \rangle \\ \end{array}


n=3

\begin{array}{c|c} v & H v \\ \hline |\uparrow \uparrow \uparrow \downarrow \rangle & |\downarrow \uparrow \uparrow \uparrow \rangle +|\uparrow \uparrow \downarrow \uparrow \rangle +2 |\uparrow \uparrow \uparrow \downarrow \rangle \\ |\uparrow \uparrow \downarrow \uparrow \rangle & |\uparrow \downarrow \uparrow \uparrow \rangle +2 |\uparrow \uparrow \downarrow \uparrow \rangle +|\uparrow \uparrow \uparrow \downarrow \rangle \\ |\uparrow \downarrow \uparrow \uparrow \rangle & |\downarrow \uparrow \uparrow \uparrow \rangle +2 |\uparrow \downarrow \uparrow \uparrow \rangle +|\uparrow \uparrow \downarrow \uparrow \rangle \\ |\downarrow \uparrow \uparrow \uparrow \rangle & 2 |\downarrow \uparrow \uparrow \uparrow \rangle +|\uparrow \downarrow \uparrow \uparrow \rangle +|\uparrow \uparrow \uparrow \downarrow \rangle \\ \end{array}


n=4

\begin{array}{c|c} v & H v \\ \hline |\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \rangle & 4 |\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \rangle \\ \end{array}


해밀토니안의 행렬 표현

  • \(L=4\) 일 때, 해밀토니안을 대각화하는 것은 다음 다섯개의 행렬의 대각화 문제가 된다

\( \left( \begin{array}{c} 4 \end{array} \right) \), \( \left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \), \( \left( \begin{array}{cccccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \), \( \left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \), \( \left( \begin{array}{c} 4 \end{array} \right) \)


베테 가설의 적용


메모

  • \(\hat H = -\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{N} (J_x \sigma_j^x \sigma_{j+1}^x + J_y \sigma_j^y \sigma_{j+1}^y + J_z \sigma_j^z \sigma_{j+1}^z - h\sigma_j^{z})\)
  • http://exactitude.tistory.com/891
  • Milewski, Jan, Grzegorz Banaszak, Tadeusz Lulek, Miroslaw Labuz, and Ryszard Stagraczynski. 2012. “Galois Actions on the Eigenproblem of the Heisenberg Heptagon.” Open Systems & Information Dynamics 19 (02): 1250012. doi:10.1142/S1230161212500126.


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


리뷰논문, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Belliard, S., and R. A. Pimenta. “Slavnov and Gaudin Formulas for Models without \(U(1)\) Symmetry: The XXX Chain on the Segment.” arXiv:1507.03242 [math-Ph], July 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.03242.
  • Kitanine, N., J. M. Maillet, G. Niccoli, and V. Terras. “On Determinant Representations of Scalar Products and Form Factors in the SoV Approach: The XXX Case.” arXiv:1506.02630 [cond-Mat, Physics:hep-Th, Physics:math-Ph, Physics:nlin], June 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.02630.
  • Alba, Vincenzo. “Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH) and Integrability in Quantum Spin Chains.” arXiv:1409.6096 [cond-Mat], September 22, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.6096.
  • Kirillov, A. N. 1985. “Combinatorial Identities, and Completeness of Eigenstates of the Heisenberg Magnet.” Journal of Soviet Mathematics 30 (4) (August 1): 2298–2310. doi:10.1007/BF02105347.
  • Faddeev, L. D., and L. A. Takhtadzhyan. 1984. “Spectrum and Scattering of Excitations in the One-dimensional Isotropic Heisenberg Model.” Journal of Soviet Mathematics 24 (2) (January 1): 241–267. doi:10.1007/BF01087245.
  • Takahashi, Minoru. 1971. “One-Dimensional Heisenberg Model at Finite Temperature.” Progress of Theoretical Physics 46 (2) (August 1): 401–415. doi:10.1143/PTP.46.401.
  • Bethe, H. 1931. “Zur Theorie der Metalle.” Zeitschrift für Physik 71 (3-4) (March 1): 205–226. doi:10.1007/BF01341708

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

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