"후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)"의 두 판 사이의 차이

2009년 9월 1일 (화) 05:44 판

\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)

\(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\)

\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)

\(\zeta(s,a+1) =\zeta(s,a)-\frac{1}{a^s}\)

\(\zeta'(s,a+1) =\zeta'(s,a)+a^{-s}\log a\)

\(\zeta'(0,a+1) =\zeta'(0,a)+}\log a\)

\(G(a)=e^{\zeta'(0,a)}\)라고 두면, \(G(a+1)=aG(a)\).

\(a>0\) 일때, \(G(a)\)는 로그 볼록성을 가진다.

또한 \(G(a)\)는 \(a>0\)에서 해석함수이다.

감마함수의 성질로부터 \(G(a)=G(1)\Gamma(a)\)

\(G(1)=\zeta'(0)\) 이므로, \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) 로부터 (모든 자연수의 곱과 리만제타함수 참조)

\(\zeta'(s,a) =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\) 임이 증명된다.

\(\frac{d^2}{da^2}\log G(a)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+a)^2}> 0\) ?

@@ 21번째 줄: / 21번째 줄: @@
 <math>G(a)=e^{\zeta'(0,a)}</math>라고 두면, <math>G(a+1)=aG(a)</math>.
-<math>a>0</math> 일때, 로그 볼록성을 가진다.
+<math>a>0</math> 일때,  <math>G(a)</math>는 로그 볼록성을 가진다.
 또한 <math>G(a)</math>는 <math>a>0</math>에서 해석함수이다.