후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)

수학노트
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개요

  • 후르비츠 제타함수를 다음과 같이 정의

\[\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\]

\[\zeta(s,q/p) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q/p)^{s}}= \sum_{n=0}^\infty \frac{p^s}{(pn+q)^s}\]


덧셈공식

  • 다음이 성립한다

\[k^s\,\zeta(s,kz)= \sum_{n=0}^{k-1}\zeta\left(s,z+\frac{n}{k}\right)\]


디리클레 L-함수와의 관계

\[L(s,\chi)= \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=\frac {1}{p^s} \sum_{q=1}^p \chi(q)\; \zeta \left(s,\frac{q}{p}\right)\]

  • 가령 \(\chi\)가 \(\chi(3)=-1\)인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면

\[L(s,\chi) =4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\]


에르미트의 적분표현

  • \(\operatorname{Re} a > 0 \) 일 때,

\[\zeta(s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{a^{1-s}}{s-1}+2\int_0^{\infty}\frac{\sin[s\tan^{-1}(t/a)]}{(a^2+t^2)^{s/2}}\frac{dt}{e^{2\pi t} -1}\]


감마함수와의 관계

정리 (Lerch)

다음이 성립한다 \[\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\tag{1}\]


증명

위에 있는 에르미트의 적분표현 (1)과 감마함수의 Binet's second expression 을 이용■



베르누이 다항식과의 관계

  • 정수 \(n\geq 0\)에 대하여 \(\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}\)
  • 특히, \(n=0\)이면 \(\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x\)
  • 베르누이 다항식


메모

\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)

\(\zeta(s,a+1) =\zeta(s,a)-\frac{1}{a^s}\)

\(\zeta'(s,a+1) =\zeta'(s,a)+a^{-s}\log a\)

\(\zeta'(0,a+1) =\zeta'(0,a)+\log a\)

\(G(a)=e^{\zeta'(0,a)}\)라고 두면, \(G(a+1)=aG(a)\).

\(a>0\) 일때, \(G(a)\)는 로그 볼록성을 가진다.

또한 \(G(a)\)는 \(a>0\)에서 해석함수이다.

감마함수의 성질로부터 \(G(a)=G(1)\Gamma(a)\)

\(G(1)=\zeta'(0)\) 이므로, \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) 로부터 (모든 자연수의 곱과 리만제타함수 참조)

\(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\) 임이 증명된다.


역사



관련된 항목들


수학용어번역


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Oswald, Nicola M. R., and Jörn Steuding. ‘Aspects of Zeta-Function Theory in the Mathematical Works of Adolf Hurwitz’. arXiv:1506.00856 [math], 2 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.00856.


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