"후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)"의 두 판 사이의 차이

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<math>\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}</math>
 
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<math>a=q/p</math> 인 경우,
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<math>\zeta(s,q/p) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q/p)^{s}}= \sum_{n=0}^\infty  \frac{p^s}{(pn+q)^s}</math>
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<math>L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math> 
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<math>f</math>가 <math>f(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면
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<math>L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math>
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2009년 9월 5일 (토) 19:47 판

간단한 소개

\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)

\(a=q/p\) 인 경우,

\(\zeta(s,q/p) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q/p)^{s}}= \sum_{n=0}^\infty \frac{p^s}{(pn+q)^s}\)

 

 

\(f\)가 \(f(3)=-1\)인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면

\(L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\)

 

 

 

 

Hermite의 적분표현 

\(\operatorname{Re} a > 0 \) 일 때, \(\zeta(s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{a^{1-s}}{s-1}+2\int_0^{\infty}\frac{\sin[s\tan^{-1}(t/a)]}{(a^2+t^2)^{s/2}}\frac{dt}{e^{2\pi t} -1}\)

 

(정리) Lerch

\(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\)

 

(증명)

위에 있는 Hermite의 표현과 감마함수의 Binet's second expression 을 이용 (증명끝)

 

 

메모

 

\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)

\(\zeta(s,a+1) =\zeta(s,a)-\frac{1}{a^s}\)

\(\zeta'(s,a+1) =\zeta'(s,a)+a^{-s}\log a\)

\(\zeta'(0,a+1) =\zeta'(0,a)+}\log a\)

\(G(a)=e^{\zeta'(0,a)}\)라고 두면, \(G(a+1)=aG(a)\).

\(a>0\) 일때,  \(G(a)\)는 로그 볼록성을 가진다.

또한 \(G(a)\)는 \(a>0\)에서 해석함수이다. 

감마함수의 성질로부터 \(G(a)=G(1)\Gamma(a)\)

\(G(1)=\zeta'(0)\) 이므로, \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) 로부터 (모든 자연수의 곱과 리만제타함수 참조)

\(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\) 임이 증명된다.

 

 

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