후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)
간단한 소개
\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)
\(L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\)
Hermite의 적분표현
\(\operatorname{Re} a > 0 \) 일 때, \(\zeta(s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{a^{1-s}}{s-1}+2\int_0^{\infty}\frac{\sin[s\tan^{-1}(t/a)]}{(a^2+t^2)^{s/2}}\frac{dt}{e^{2\pi t} -1}\)
(정리) Lerch
\(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\)
(증명)
위에 있는 Hermite의 표현과 감마함수의 Binet's second expression 을 이용 (증명끝)
메모
\(\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}\)
\(\zeta(s,a+1) =\zeta(s,a)-\frac{1}{a^s}\)
\(\zeta'(s,a+1) =\zeta'(s,a)+a^{-s}\log a\)
\(\zeta'(0,a+1) =\zeta'(0,a)+}\log a\)
\(G(a)=e^{\zeta'(0,a)}\)라고 두면, \(G(a+1)=aG(a)\).
\(a>0\) 일때, \(G(a)\)는 로그 볼록성을 가진다.
또한 \(G(a)\)는 \(a>0\)에서 해석함수이다.
감마함수의 성질로부터 \(G(a)=G(1)\Gamma(a)\)
\(G(1)=\zeta'(0)\) 이므로, \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) 로부터 (모든 자연수의 곱과 리만제타함수 참조)
\(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\) 임이 증명된다.
재미있는 사실
역사
관련된 다른 주제들
수학용어번역
참고할만한 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz_zeta_function
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
관련논문
- On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 1
- Olivier Espinosa and Victor H. Moll
- On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 2
- Olivier Espinosa and Victor H. Moll
- A class of logarithmic integrals
- Victor Adamchik, 1997
- On the Hurwitz zeta-function
- Bruce C. Berndt, Source: Rocky Mountain J. Math. Volume 2, Number 1 (1972), 151-158.
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