"3차 방정식의 근의 공식"의 두 판 사이의 차이

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<h5>카르다노의 해법</h5>
 
<h5>카르다노의 해법</h5>
  
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주어진 방정식 <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>의 2차항을 없애기 위해,  다음과 같은 치환을 사용한다.
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주어진 방정식 <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math>의 2차항을 없애기 위해,  다음과 같은 치환을 사용한다.
  
 
<math>x = t - a/3</math>
 
<math>x = t - a/3</math>
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u는 여섯개의 값을 가질 수 있으며, <math>uv = -p/3</math> 임을 이용하면 u에 의해 v의 값이 결정된다. 그리고 이 때 얻어지는 t=u+v의 값은 다음과 같이 오직 세 개의 값만을 가질 수 있다.
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u는 여섯개의 값을 가질 수 있으며, <math>uv = -p/3</math> 임을 이용하면 u에 의해 v의 값이 결정된다.
  
 
 
 
 
  
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<math>\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>
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<math>u=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}</math>, <math>\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>, <math>\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>
  
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<math>\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>
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<math>v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} ,  \left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math>
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<math>\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math>
 
  
 
 
 
 
  
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그리고 이 때 얻어지는 t=u+v의 값은 다음과 같이 오직 세 개의 값만을 가질 수 있다.
  
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하여, u,v 를 다음과 같이 쓸 수 있다.
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<math>\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>
  
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<math>\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>
  
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<math>u=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}</math>, <math>\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>, <math>\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>
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<math>\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math>
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<math>v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} ,  \left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math>
 
  
 
 
 
 
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<math>x=-\frac{p}{3u}+u-{a\over 3}</math>
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<h5><math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>의 근의 공식</h5>
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<math>\begin{align} x_1 = &-\frac{b}{3 a}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_2 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_3 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} \end{align}</math>
 
<math>\begin{align} x_1 = &-\frac{b}{3 a}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_2 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_3 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} \end{align}</math>
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<h5>메모</h5>
 
<h5>메모</h5>
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<math>u=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}</math>, <math>\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>, <math>\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>
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<math>v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} ,  \left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math>
  
 
 
 
 

2010년 2월 2일 (화) 18:06 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 삼차방정식 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) 의 근의 공식

 

 

카르다노의 해법

주어진 방정식 \(x^3+ax^2+bx+c=0\)의 2차항을 없애기 위해,  다음과 같은 치환을 사용한다.

\(x = t - a/3\)

새로운 방정식 \(t^3 + pt + q = 0\)을 얻는다. 여기서

\(p = b - \frac{a^2}3\) 이고 \(q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}\)

새로운 두 변수 u,v를 도입하자.

\(u + v = t\), \(uv = -p/3\)

다음 두 식을 만족시킨다.

\(u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \qquad (1)\)

\( 3uv+p=0\)

 

식 (1)의 양변에 \(u^3\)를 곱하여, 이로부터 u가 만족시키는 다음 방정식을 얻는다.

\(u^6 + qu^3 - {p^3\over 27} = 0 \quad (2)\)

\(u^3\)에 대한 이차방정식이므로, 다음을 얻는다.

\( u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}\)

한편, \(v^3\) 역시 방정식 (2)의 해이므로, 다음을 얻는다.

\(v^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}\)

 

u는 여섯개의 값을 가질 수 있으며, \(uv = -p/3\) 임을 이용하면 u에 의해 v의 값이 결정된다.

 

\(u=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}\), \(\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\), \(\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)

\(v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} , \left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \)

 

그리고 이 때 얻어지는 t=u+v의 값은 다음과 같이 오직 세 개의 값만을 가질 수 있다.

\(\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)

\(\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)

\(\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \)

 

 

 

 

\(ax^3+bx^2+cx+d=0\)의 근의 공식

\(\begin{align} x_1 = &-\frac{b}{3 a}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_2 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_3 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} \end{align}\)

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

메모

\(u=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}\), \(\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\), \(\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)

\(v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} , \left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \)

 

 

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