3차 방정식의 근의 공식
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개요
- 삼차방정식 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) 의 근의 공식
카르다노의 해법
방정식 \(t^3 + pt + q = 0\)
새로운 두 변수 u,v를 도입하자.
\(u + v = t, uv = -p/3\)
다음 두 식을 만족시킨다.
\(u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0\)
\( 3uv+p=0\)
이로부터 u가 만족시키는 다음 방정식을 얻는다.
\(u^6 + qu^3 - {p^3\over 27} = 0\)
\(u^3\)에 대한 이차방정식이므로, 다음을 얻는다.
\( u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}\)
이로부터,
\(u=\sqrt[3]{-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}\)
\(x=-\frac{p}{3u}+u-{a\over 3}\)
\(\begin{align} x_1 = &-\frac{b}{3 a}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_2 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_3 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} \end{align}\)
재미있는 사실
역사
메모
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사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_resolvents
- http://en.wikipedia.org/wiki/cubic_equation
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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