"Complex multiplication"의 두 판 사이의 차이

2009년 12월 5일 (토) 17:49 판

두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 의해 생성되는 2차원 격자
\(\Lambda=\{m_1\omega_1+m_2\omega_2)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}\)
격자로부터 타원곡선 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)를 얻는다

두 타원곡선 사이에 정의된 타원곡선의 항등원을 보존하는 유리함수 \(\phi : E_1 \to E_2\)를 isogeny 라 한다
타원곡선이 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)로 주어지는 경우 모든 isogeny \(\phi : E \to E\) 의 집합 \(\text{End}({E})\) 는 환의 구조를 가지며,\(\text{End}({E})\simeq \{\alpha\in \mathbb{C}|\alpha\Lambda \subset \Lambda\}\)가 성립한다

타원곡선 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\), \(\Lambda=\{m_1+m_2\tau)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}\) 가 주어졌다고 하자
- 여기서 \(\Im\tau >0\)를 가정
\(\alpha\in\mathbb{Z}\)에 대하여, \(\alpha\tau \in\Lambda\) 이므로 \(\mathbb{Z}\subset \text{End}({E})\) 가 성립한다
일반적인 타원곡선의 경우, \(\text{End}({E})=\mathbb{Z}\) 가 성립한다
\(\text{End}({E})\neq \mathbb{Z}\)인 경우, 즉 \(\text{End}({E})\)가 \(\mathbb{Z}\)를 진부분집합으로 포함하는 경우, 타원곡선 \(E\)가 complex muptiplication을 갖는다고 말한다
\(E=\mathbb{C}/\Lambda\), \(\Lambda=\{m_1+m_2\tau)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}\)에 대해서
\(\text{End}({E})\)의
\(\alpha\in\text{End}({E})\)이면, \(\alpha\cdot 1 \in\Lambda\)이므로, \(\alpha=m+n\tau\)꼴로 쓰여진다
한편 \(\alpha\tau \in\Lambda\)가 성립하므로, \(\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau\) 꼴로 쓰여지게 된다. 여기서 \(m, n, p, q\)는 모두 정수.
따라서 \(n\tau^2-(m-q)\tau-p=0\)

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 *  일반적인 타원곡선의 경우, <math>\text{End}({E})=\mathbb{Z}</math> 가 성립한다<br>
 *   <math>\text{End}({E})\neq \mathbb{Z}</math>인 경우, 즉  <math>\text{End}({E})</math>가 <math>\mathbb{Z}</math>를 진부분집합으로 포함하는 경우, 타원곡선 <math>E</math>가 complex muptiplication을 갖는다고 말한다<br>
+* <math>E=\mathbb{C}/\Lambda</math>, <math>\Lambda=\{m_1+m_2\tau)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}</math>에 대해서 <br>  <math>\text{End}({E})</math>의<br><math>\alpha\in\text{End}({E})</math>이면, <math>\alpha\cdot 1 \in\Lambda</math>이므로, <math>\alpha=m+n\tau</math>꼴로 쓰여진다<br> 한편 <math>\alpha\tau \in\Lambda</math>가 성립하므로, <math>\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau</math> 꼴로 쓰여지게 된다. 여기서 <math>m, n, p, q</math>는 모두 정수. <br>  따라서 <math>n\tau^2-(m-q)\tau-p=0</math><br>