"Complex multiplication"의 두 판 사이의 차이
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> |
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">uniformization</h5> |
* 두 복소수 <math>\omega_1,\omega_2</math>에 의해 생성되는 2차원 격자<br><math>\Lambda=\{m_1\omega_1+m_2\omega_2)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}</math><br> | * 두 복소수 <math>\omega_1,\omega_2</math>에 의해 생성되는 2차원 격자<br><math>\Lambda=\{m_1\omega_1+m_2\omega_2)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}</math><br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">isogeny</h5> |
* 두 타원곡선 사이에 정의된 타원곡선의 항등원을 보존하는 유리함수 <math>\phi : E_1 \to E_2</math>를 isogeny 라 한다<br> | * 두 타원곡선 사이에 정의된 타원곡선의 항등원을 보존하는 유리함수 <math>\phi : E_1 \to E_2</math>를 isogeny 라 한다<br> | ||
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* 타원곡선 <math>E=\mathbb{C}/\Lambda</math>, <math>\Lambda=\{m_1+m_2\tau)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}</math> 가 주어졌다고 하자<br> | * 타원곡선 <math>E=\mathbb{C}/\Lambda</math>, <math>\Lambda=\{m_1+m_2\tau)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}</math> 가 주어졌다고 하자<br> | ||
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* <math>\alpha\in\mathbb{Z}</math>에 대하여, <math>\alpha\tau \in\Lambda</math> 이므로 <math>\mathbb{Z}\subset \text{End}({E})</math> 가 성립한다<br> | * <math>\alpha\in\mathbb{Z}</math>에 대하여, <math>\alpha\tau \in\Lambda</math> 이므로 <math>\mathbb{Z}\subset \text{End}({E})</math> 가 성립한다<br> | ||
* 일반적인 타원곡선의 경우, <math>\text{End}({E})=\mathbb{Z}</math> 가 성립한다<br> | * 일반적인 타원곡선의 경우, <math>\text{End}({E})=\mathbb{Z}</math> 가 성립한다<br> | ||
| − | * <math>\text{End}({E})\neq \mathbb{Z}</math>인 경우, 즉 <math>\text{End}({E})</math>가 <math>\mathbb{Z}</math>를 진부분집합으로 포함하는 경우, 타원곡선 <math>E</math>가 complex | + | * <math>\text{End}({E})\neq \mathbb{Z}</math>인 경우, 즉 <math>\text{End}({E})</math>가 <math>\mathbb{Z}</math>를 진부분집합으로 포함하는 경우, 타원곡선 <math>E</math>가 complex multiplication을 갖는다고 말한다<br> |
| − | * <math>E=\mathbb{C}/\Lambda</math>, <math>\Lambda=\{m_1+m_2\tau)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}</math>에 대해서 | + | * <math>E=\mathbb{C}/\Lambda</math>, <math>\Lambda=\{m_1+m_2\tau)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}</math>에 대해서 <math>E</math>가 complex multiplication을 갖는다고 가정하자<br><math>\alpha\in\text{End}({E})-\mathbb{Z}</math>가 존재하여, <math>\alpha\cdot 1 \in\Lambda</math>이므로, <math>\alpha=m+n\tau</math> (<math>n\neq 0 </math>)꼴로 쓰여진다<br> 한편 <math>\alpha\tau \in\Lambda</math>가 성립하므로, <math>\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau</math> 꼴로 쓰여지게 된다. 여기서 <math>m, n, p, q</math>는 모두 정수. <br> 따라서 <math>n\tau^2-(m-q)\tau-p=0</math>이 만족된다.<br> 그러므로, 타원곡선 <math>E</math>가 complex multiplication을 가질 경우, <math>\tau</math> 는 정수계수 이차방정식을 만족시키는 복소수가 된다<br> |
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
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* [[바이어슈트라스 타원함수 ℘|바이어슈트라스의 타원함수]]<br> | * [[바이어슈트라스 타원함수 ℘|바이어슈트라스의 타원함수]]<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5> |
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
| + | * http://en.wikipedia.org/wiki/complex_multiplication | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/ | * http://en.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://www.wolframalpha.com/input/?i= | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
| − | * [http://www.research.att.com/ | + | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br> |
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
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* [http://betterexplained.com/ BetterExplained] | * [http://betterexplained.com/ BetterExplained] | ||
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2009년 12월 6일 (일) 01:47 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
uniformization
- 두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 의해 생성되는 2차원 격자
\(\Lambda=\{m_1\omega_1+m_2\omega_2)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}\) - 격자로부터 타원곡선 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)를 얻는다
isogeny
- 두 타원곡선 사이에 정의된 타원곡선의 항등원을 보존하는 유리함수 \(\phi : E_1 \to E_2\)를 isogeny 라 한다
- 타원곡선이 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)로 주어지는 경우 모든 isogeny \(\phi : E \to E\) 의 집합 \(\text{End}({E})\) 는 환의 구조를 가지며,\(\text{End}({E})\simeq \{\alpha\in \mathbb{C}|\alpha\Lambda \subset \Lambda\}\)가 성립한다
complex multiplication
- 타원곡선 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\), \(\Lambda=\{m_1+m_2\tau)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}\) 가 주어졌다고 하자
- 여기서 \(\Im\tau >0\)를 가정
- 여기서 \(\Im\tau >0\)를 가정
- \(\alpha\in\mathbb{Z}\)에 대하여, \(\alpha\tau \in\Lambda\) 이므로 \(\mathbb{Z}\subset \text{End}({E})\) 가 성립한다
- 일반적인 타원곡선의 경우, \(\text{End}({E})=\mathbb{Z}\) 가 성립한다
- \(\text{End}({E})\neq \mathbb{Z}\)인 경우, 즉 \(\text{End}({E})\)가 \(\mathbb{Z}\)를 진부분집합으로 포함하는 경우, 타원곡선 \(E\)가 complex multiplication을 갖는다고 말한다
- \(E=\mathbb{C}/\Lambda\), \(\Lambda=\{m_1+m_2\tau)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}\)에 대해서 \(E\)가 complex multiplication을 갖는다고 가정하자
\(\alpha\in\text{End}({E})-\mathbb{Z}\)가 존재하여, \(\alpha\cdot 1 \in\Lambda\)이므로, \(\alpha=m+n\tau\) (\(n\neq 0 \))꼴로 쓰여진다
한편 \(\alpha\tau \in\Lambda\)가 성립하므로, \(\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau\) 꼴로 쓰여지게 된다. 여기서 \(m, n, p, q\)는 모두 정수.
따라서 \(n\tau^2-(m-q)\tau-p=0\)이 만족된다.
그러므로, 타원곡선 \(E\)가 complex multiplication을 가질 경우, \(\tau\) 는 정수계수 이차방정식을 만족시키는 복소수가 된다
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/complex_multiplication
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
관련도서 및 추천도서
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관련기사
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