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*  아벨군 <math>G</math>와 그 부분군 <math>H</math>에 대하여 다음을 정의<br>
 
*  아벨군 <math>G</math>와 그 부분군 <math>H</math>에 대하여 다음을 정의<br>
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** <math>\^G=\{\chi : G \to \mathbb C^{*}|\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)\}</math><br>
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** 쌍대군 <math>\^G=\{\chi : G \to \mathbb C^{*}|\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)\}</math><br>
 
** <math>H^{\#}=\{\chi\in \^G | \chi (h)=1\}</math><br>
 
** <math>H^{\#}=\{\chi\in \^G | \chi (h)=1\}</math><br>
 
* [[푸리에 변환]]<br><math>\hat f(\chi) := \sum_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) </math><br>
 
* [[푸리에 변환]]<br><math>\hat f(\chi) := \sum_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) </math><br>

2009년 9월 10일 (목) 17:36 판

간단한 소개
  • 아벨군 \(G\)와 그 부분군 \(H\)에 대하여 다음을 정의
    • 쌍대군 \(\^G=\{\chi : G \to \mathbb C^{*}|\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)\}\)
    • \(H^{\#}=\{\chi\in \^G | \chi (h)=1\}\)
  • 푸리에 변환
    \(\hat f(\chi) := \sum_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \)

 

(정리) 포아송 덧셈 공식

아벨군 \(G\)와 부분군 \(H\), \(g\in G\)에 대하여 다음이 성립한다.

\(\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(gh)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\chi(g)\)

 

(따름정리)

특별히 \(g=1\)인 경우 다음을 얻는다.

\(\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(h)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\)

 

 

 

\(G=\mathbb R\)인 경우
  • \(G=\mathbb R\), \(H=\mathbb Z\)
  • \(\^G=\{\chi_{\xi}:\xi \in G\}\), \(\chi_{\xi}(g)=e^{2\pi i \xi g}\)
  •  
    \(H^{\#}=\{\chi_n} : n \in \mathbb Z\}\)
  • 푸리에 변환
    \(\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\)

 

(정리) 포아송

\(\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\)

 

(증명)

\(F(x):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(x+n)\)

\(F(x+1)=F(x)\) 이므로 푸리에 전개를 할 수 있다.

\(F(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}a_ne^{2\pi i n x}\)

\(a_n=\int_{0}^{1}F(t)e^{2\pi i n t}\,dt\)

\(F(0):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n\)

한편 \(a_y=\int_0^1\sum_{n\in \mathbb Z}f(t+n)e^{-2\pi i t y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_0^1f(t+n)e^{-2\pi i (t+n)y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_n^{n+1}f(t)e^{-2\pi i (t)y}\,dt=\hat{f}(y)\)

따라서 \(\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\) (증명끝)

 

 

선형 코드의 경우
  • \(G=\mathbb F_2^n\), \(H = C\) 선형코드의 경우

 

  •  
    \(\^G=\{\chi_a:a\in G\}\),여기서  \(\chi_a(g)=(-1)^{a\cdot g}\)
     
  •  
    \(C^{\#}=H^{\#}=\{\chi_a : a\cdot u=0 \ \text{ for all }u \in G\}\)
     
  • 선형코드에 대해서는 코딩이론 항목을 참조
  •  
     

 

 

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메모
  • 코드
    • 이차형식에서 격자에 대응
  • 코드의 weight enumerator
  • 격자의 쎄타함수에 대응
     
  • 코드 : 격자 = 코드의 weight enumerator : 격자의 세타함수
  • MacWilliams Identity
  • 섀넌 샘플링 정리

 

 

 

역사


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