포아송의 덧셈 공식

수학노트
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개요

  • 아벨군 \(G\)와 그 부분군 \(H\)에 대하여 다음을 정의
    • 쌍대군 \(\hat{G}=\{\chi : G \to \mathbb C^{*}|\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)\}\)
    • \(H^{\#}=\{\chi\in \hat{G} | \chi (h)=1\}\)
  • 푸리에 변환 \(\hat f(\chi) := \sum_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \)


(정리) 포아송 덧셈 공식

아벨군 \(G\)와 부분군 \(H\), \(g\in G\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(gh)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\chi(g)\]


(따름정리)

특별히 \(g=1\)인 경우 다음을 얻는다. \[\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(h)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\]




\(G=\mathbb R\)인 경우

  • \(G=\mathbb R\), \(H=\mathbb Z\)
  • \(\hat{G}=\{\chi_{\xi}:\xi \in G\}\)
  • \(\chi_{\xi}(g)=e^{2\pi i \xi g}\)
  • \(H^{\#}=\{\chi_n : n \in \mathbb{Z}\}\)
  • 푸리에 변환

\[\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\]


(정리) 포아송 \[\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\]


(증명) \(F(x):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(x+n)\)라 두면, \(F(x+1)=F(x)\) 이므로 푸리에 전개를 할 수 있다. \[F(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}a_ne^{2\pi i n x}\] 이 때, \(a_n=\int_{0}^{1}F(t)e^{2\pi i n t}\,dt\) 따라서 \[F(0)=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n\]

한편 \[a_y=\int_0^1\sum_{n\in \mathbb Z}f(t+n)e^{-2\pi i t y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_0^1f(t+n)e^{-2\pi i (t+n)y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_n^{n+1}f(t)e^{-2\pi i (t)y}\,dt=\hat{f}(y)\] 로부터 다음을 얻는다 \[\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\] (증명끝)



선형 코드의 경우

  • \(G=\mathbb F_2^n\), \(H = C\) 선형코드의 경우
  • \(\hat{G}=\{\chi_a:a\in G\}\),여기서 \(\chi_a(g)=(-1)^{a\cdot g}\)
  • \(C^{\#}=H^{\#}=\{\chi_a : a\cdot u=0 \, \forall u \in G\}\)



메모

  • 코딩이론
  • 코드
    • 이차형식에서 격자에 대응
  • 코드의 weight enumerator
  • 격자의 쎄타함수에 대응
  • 코드 : 격자 = 코드의 weight enumerator : 격자의 세타함수
  • MacWilliams Identity
  • 섀넌 샘플링 정리


이번주에 열린 제7회 통계물리 겨울학교에서 푸아송 합공식(Poisson summation formula; PSF)을 증명하는 문제가 강의 중 과제로 나왔습니다. PSF는 다음과 같습니다.

\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dx F(x) e^{-2\pi imx}\)

좌변만 보면 F는 정수만 인수로 갖는 것처럼 보이지만 일반적으로 실수를 인수로 가집니다. 이 F를 푸리에 변환합니다.

\(F(x)=\int_{-\infty}^\infty dk \hat F(k) e^{2\pi i kx},\ \hat F(k)=\int_{-\infty}^\infty dx F(x) e^{-2\pi i kx}\)

이를 이용해 PSF의 좌변을 다시 씁니다.

\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n)= \int_{-\infty}^{\infty}dk\hat F(k)\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikn}\)

우변의 n에 대한 합은 k가 정수일 때는 무한대로 발산, 그렇지 않을 때는 0이 됩니다. 델타 함수로 이를 다시 표현하면 아래와 같습니다.

\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikn}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta(k-m)\)

이로부터 PSF의 우변이 나옵니다.

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