"포아송의 덧셈 공식"의 두 판 사이의 차이
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5> |
* 아벨군 <math>G</math>와 그 부분군 <math>H</math>에 대하여 다음을 정의<br> | * 아벨군 <math>G</math>와 그 부분군 <math>H</math>에 대하여 다음을 정의<br> | ||
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| − | 아벨군 <math>G</math>와 부분군 <math>H</math>, <math>g\in G</math>에 대하여 다음이 성립한다. | + | 아벨군 <math>G</math>와 부분군 <math>H</math>, <math>g\in G</math>에 대하여 다음이 성립한다. |
<math>\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(gh)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\chi(g)</math> | <math>\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(gh)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\chi(g)</math> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 2em; margin | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;"><math>G=\mathbb R</math>인 경우</h5> |
* <math>G=\mathbb R</math>, <math>H=\mathbb Z</math><br> | * <math>G=\mathbb R</math>, <math>H=\mathbb Z</math><br> | ||
* <math>\^G=\{\chi_{\xi}:\xi \in G\}</math>, <math>\chi_{\xi}(g)=e^{2\pi i \xi g}</math><br> | * <math>\^G=\{\chi_{\xi}:\xi \in G\}</math>, <math>\chi_{\xi}(g)=e^{2\pi i \xi g}</math><br> | ||
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| + | * <math>H^{\#}=\{\chi_n} : n \in \mathbb Z\}</math><br> | ||
* 푸리에 변환<br><math>\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx</math><br> | * 푸리에 변환<br><math>\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx</math><br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 2em; margin | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">선형 코드의 경우</h5> |
* <math>G=\mathbb F_2^n</math>, <math>H = C</math> 선형코드의 경우<br> | * <math>G=\mathbb F_2^n</math>, <math>H = C</math> 선형코드의 경우<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">상위 주제</h5> |
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* [[코딩이론]] | * [[코딩이론]] | ||
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* <br>[[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br>[[수학사연표 (역사)|]]<br> | * <br>[[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br>[[수학사연표 (역사)|]]<br> | ||
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* [[푸리에 변환]]<br> | * [[푸리에 변환]]<br> | ||
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* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | ||
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr= | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr= | ||
| − | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid= | + | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판] |
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">참고할만한 자료</h5> |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q= | * 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q= | ||
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* http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search= | * http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search= | ||
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* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query= | * http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query= | ||
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2010년 3월 27일 (토) 13:33 판
개요
- 아벨군 \(G\)와 그 부분군 \(H\)에 대하여 다음을 정의
- 쌍대군 \(\^G=\{\chi : G \to \mathbb C^{*}|\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)\}\)
- \(H^{\#}=\{\chi\in \^G | \chi (h)=1\}\)
- 쌍대군 \(\^G=\{\chi : G \to \mathbb C^{*}|\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)\}\)
- 푸리에 변환
\(\hat f(\chi) := \sum_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \)
(정리) 포아송 덧셈 공식
아벨군 \(G\)와 부분군 \(H\), \(g\in G\)에 대하여 다음이 성립한다.
\(\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(gh)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\chi(g)\)
(따름정리)
특별히 \(g=1\)인 경우 다음을 얻는다.
\(\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(h)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\)
\(G=\mathbb R\)인 경우
- \(G=\mathbb R\), \(H=\mathbb Z\)
- \(\^G=\{\chi_{\xi}:\xi \in G\}\), \(\chi_{\xi}(g)=e^{2\pi i \xi g}\)
- \(H^{\#}=\{\chi_n} : n \in \mathbb Z\}\)
- 푸리에 변환
\(\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\)
(정리) 포아송
\(\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\)
(증명)
\(F(x):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(x+n)\)
\(F(x+1)=F(x)\) 이므로 푸리에 전개를 할 수 있다.
\(F(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}a_ne^{2\pi i n x}\)
\(a_n=\int_{0}^{1}F(t)e^{2\pi i n t}\,dt\)
\(F(0):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n\)
한편 \(a_y=\int_0^1\sum_{n\in \mathbb Z}f(t+n)e^{-2\pi i t y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_0^1f(t+n)e^{-2\pi i (t+n)y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_n^{n+1}f(t)e^{-2\pi i (t)y}\,dt=\hat{f}(y)\)
따라서 \(\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\) (증명끝)
선형 코드의 경우
- \(G=\mathbb F_2^n\), \(H = C\) 선형코드의 경우
-
\(\^G=\{\chi_a:a\in G\}\),여기서 \(\chi_a(g)=(-1)^{a\cdot g}\)
-
\(C^{\#}=H^{\#}=\{\chi_a : a\cdot u=0 \ \text{ for all }u \in G\}\)
- 선형코드에 대해서는 코딩이론 항목을 참조
상위 주제
하위페이지
메모
- 코드
- 이차형식에서 격자에 대응
- 코드의 weight enumerator
- 격자의 쎄타함수에 대응
- 코드 : 격자 = 코드의 weight enumerator : 격자의 세타함수
- MacWilliams Identity
- 섀넌 샘플링 정리
역사
-
수학사연표
[[수학사연표 (역사)|]]
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 다른 주제들
관련도서 및 추천도서
- 도서내검색
- 도서검색
수학용어번역
참고할만한 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_summation_formula
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- 네이버 오늘의과학
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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