피보나치 수열

 

 

 

• 정의
  
  • \(F_0=0, F_1=1\)
  • \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\)
• 잘 알려진 성질들
  
  • 황금비와 많이 관련되어 있음.
  • \(\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\)
     
    
  • \(\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi\)
  • \( F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n}\)
• 위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.
  \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{F_{n}}{F_{n+1}}-\frac{F_{n-1}}{F_{n}}}=\frac{1}{\varphi}=\varphi-1\)
  \(\prod_{n=2}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n}}{F_n^2})=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_n^2+(-1)^n}{F_n^2}=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi\)
  

 

 

피보나치 수열의 일반항

• 생성함수를 이용한 방법
• 피보나치 수열의 생성함수

\(s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k=s(x)=\frac{x}{1-x-x^2}\)

(증명)

\(\begin{align} s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\ &= x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\ &= x + x\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= x + x s(x) + x^2 s(x) \end{align}\)

 

이제 이 함수를 부분분수로 분해하여 쓰면, 피보나치수열의 일반항을 얻을 수 있다.

\(F(n) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}\)

\(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\)

 

 

황금비와 피보나치 수열

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자연과 피보나치 수열

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재미있는 사실

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