생성함수

수학노트
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개요

  • 생성함수(generating function)
  • 수열\(\{a_n\}\)에 대한 정보를 담는 멱급수
  • 다양한 종류의 생성함수가 있으며 수열의 성질에 따라 적합한 종류의 생성함수를 이용한다
  • 해석적정수론의 중요한 아이디어
  • 수열이라는 이산적인 대상을, 미적분학이라는 연속적인 개념을 이용하는 도구를 통해 다룰수 있게 해줌.
  • L-함수, 제타함수와 디리클레 급수로 생성함수의 일종으로 이해할 수 있음
  • 확률론에서 확률변수를 다루는데 유용한 도구


생성함수

  • 수열 \(\{a_n\}\)이 주어진 경우, 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식)

\[G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots\]


지수생성함수

  • 수열 \(\{a_n\}\)이 주어진 경우, 다음과 같은 멱급수함수를 지수생성함수라 한다

\[EG(x)=\sum _{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!}x^n\]

  • 베르누이 수의 생성함수\[\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}t^n=\frac{t}{e^t-1}\]
  • derangement의 생성함수\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n}{n!}x^n=\frac{e^{-x}}{1-x}\]



디리클레급수



자코비 세타함수의 경우

  • 자코비 세타함수\[\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}\]
  • 주어진 자연수를 여러 제곱의 합으로 표현하는 방법에 유용하게 사용된다
  • 가령 자코비의 네 제곱수 정리의 경우\[\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\]



확률론과 생성함수

  • probability generating function
  • moment generating function
  • characteristic function



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