자연수의 분할수(integer partitions)

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개요

  • 분할수란 주어진 자연수를 자연수들의 덧셈으로 표현하는 방법의 수를 말함.
  • 주어진 자연수를 자연수 몇 개로 쪼개서 그 합으로 쓸 수 있는 방법의 수
  • 가령 주어진 수가 3 이라면, 1+1+1, 2+1, 3 세 가지 방법
  • 주어진 자연수가 5 라면 1+1+1+1+1, 2+1+1+1, 2+2+1, 3+1+1, 3+2, 4+1, 5 일곱가지 방법
  • 자연수 n에 대하여 이런 식으로 표현할 수 있는 방법의 수를 \(p(n)\) (n의 분할수, partition number)라 한다.
    • $p(3)=3, p(5)=7$
  • 정수론, 조합론, 통계물리 등에서 중요한 역할 (모듈라 형식과 q-초기하급수 등)


수가 작은 경우의 분할수

\begin{array}{c|c} n & p(n) \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \\ 4 & 5 \\ 5 & 7 \\ 6 & 11 \\ 7 & 15 \\ 8 & 22 \\ 9 & 30 \\ 10 & 42 \\ 11 & 56 \\ 12 & 77 \\ 13 & 101 \\ 14 & 135 \\ 15 & 176 \\ 16 & 231 \\ 17 & 297 \\ 18 & 385 \\ 19 & 490 \\ 20 & 627 \\ \end{array}


생성함수

\[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots\] \[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \]


분할수의 점화식

  • 분할수는 아래의 점화식을 만족시키는데, 컴퓨터가 등장하기 전에는 이 점화식을 이용하여, 분할수의 표를 작성했을 것이라 추측됨

\[p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\]

증명

오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem) 를 이용하자. \[(1-q)(1-q^2)(1-q^3) \cdots = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots\]

이는 분할수의 생성함수(오일러 함수)

\[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \] 의 역수이므로, 둘을 곱하여 \[(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n)(1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots)=1\]

을 얻는다. 이로부터 \[p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\] 를 얻을 수 있다. ■

  • \(p(10)=42\)
  • \(p(9) + p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42\)



분할수가 만족시키는 합동식



분할수의 근사공식

\[p(n) \approx \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\]


메모



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