교란순열 (derangement)

수학노트
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개요

  • 고정점을 갖지 않는 순열을 교란순열이라 함 (permutation of n points without fixed points)
  • n명의 사람이 있고, 그들의 이름이 써진 명찰 n개가 있다. 명찰을 랜덤하게 나눠줬을 때, 단 한 사람도 자기 명찰을 받지 않는 경우의 수 \(D_n\)
  • 목욕탕에 n명의 사람이 있다. 몇 사람씩 그룹을 만들어 동그랗게 서서, 서로 등을 밀어주는 경우의 수 \(D_n\)은 얼마인가? 혼자서 자기 등을 밀 수는 없다.
  • 이 수열 \(D_n\)에는 (arrangement의 반대 개념으로) derangement 라는 이름이 붙어 있음\[D_0=1,D_1=0,D_2=1,D_3=2,D_4=9,D_5=44,D_6=265,\cdots\]
  • 일반항\[D_n = n! \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\]

 

 

\(D_4\)의 경우

예를 들어 1,2,3,4 네 사람이 있는 경우를 생각해 보자. 말을 줄이기 위해, 기호를 하나 정의한다. (abc…d) 라는 것은 a는 b의 등을 밀고, b는 c의 등을 밀고, … , d는 a의 등을 미는 것을 뜻한다. 1,2,3,4 네 명이서 서로 등을 밀어 주는 경우의 수는 다음과 같이 셀 수 있다.

(1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432), (12)(34), (13)(24), (14)(23)

따라서 모두 9가지 경우가 있다. 즉 \(D_4=9\)

 

 

점화식

  • \(D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\)
  • \(D_n-nD_{n-1}=-(D_{n-1}-(n-1)D_{n-2})\)
  • \(D_n-nD_{n-1}=(-1)^n\)

 

 

생성함수

  • 지수생성함수는 다음과 같다\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n}{n!}x^n=\frac{e^{-x}}{1-x}\]

(증명)

위에서 얻은 점화식을 사용하면,

\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n-nD_{n-1}}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^n=e^{-x}\)

좌변을 정리하면,

\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n}{n!}x^n-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{nD_{n-1}}{n!}x^n=f(x)-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{D_{n-1}}{(n-1)!}x^n=f(x)-xf(x)\)

따라서,

\(f(x)=\frac{e^{-x}}{1-x}=(1+x+x^2+x^3+\cdots)(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots)\) ■

 

 

수열의 일반항

  • 위에서 얻은 생성함수로부터 수열의 일반항을 구할 수 있다\[\frac{D_n}{n!}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!}\]\[D_n = n! \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\]

 

 

 

포함과 배제의 원리의 응용

  • 집합 \(\{1,2,\cdots,n\}\)의 permutation 들의 집합을 A, i->i 인 permutation 들의 집합을 \(A_i\) 이라 하자

 

 

자연상수와의 관계

 

 

이 식으로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

 

(n이 충분히 클 때) n명의 사람이 있고, 그들의 이름이 써진 명찰 n개가 있다. 명찰을 랜덤하게 나눠줬을 때, 단 한 사람도 자기 명찰을 받지 않을 확률은 \(\frac{1}{e}\)에 가깝다.

 

 

역사

 

 

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관련논문

  • Miska, Piotr. “Arithmetic Properties of the Sequence of Derangements and Its Generalizations.” arXiv:1508.01987 [math], August 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01987.