자연상수 e

수학노트
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개요[편집]

  • 다음 수열의 극한을 통해 정의됨\[e=\lim_{n\to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240\cdots\]
    • 이 수열은 느리게 수렴함
  • 급수를 통한 표현\[e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\]
    • 이 급수는 빠르게 수렴함
  • 미적분학에서 가장 중요한 역할을 하는 수의 하나로 다음 함수들을 정의할 수 있게 해줌
    • 지수함수 \(e^x\)
    • 자연로그함수 \(\ln x = \log_{e} x\)

 

이자율을 통한 이해[편집]

수열에 친숙해지기 위하여 좀더 친숙한 상황을 하나 생각해 보자.

자연상수를 공부하기엔, 돈과 이자 얘기가 좋다. 복리로 주어지는 예금상품이 있다고 하자. 넣어둔 돈이 a이고, 단위기간 동안의 이자율이 r이라고 하면, 그 단위기간이 지났을 때, 돈은 a(1+r) 이 된다. 만약에 그 돈을 계속 넣어둔다면, 약속된 단위기간이 지날 때마다, 통장의 예금 \[a(1+r), a(1+r)^2, a(1+r)^3, \cdots, a(1+r)^n, \cdots\]

로 늘어나게 된다.

이제 자연상수를 공부하기 위하여, 넣어둔 돈은 1, 단위기간은 1년, 이자율은 100%라고 하자.(말하고 보니, 이데아의 세계…) 1년 뒤에는 돈이 2가 될 것이다. 그런데 이 상황을 약간 변형하여 이렇게 하면 어떨까. 단위기간은 1년의 절반인 6개월로 하는 대신, 이자를 6개월마다 50% 복리로 받는 것이다. 그렇다면 1년 후에, 통장에 들어 있게 되는 돈은 다음과 같다. \[(1 + \frac{1}{2})^2 = 2.25\]

수익이 더 높아졌다!

만약에 단위기간을 1년의 3분의 1인, 4개월로 하고, 4개월마다 이자를 33.33% 씩 받는다면, 1년 후에 받게 되는 돈은 이렇게 될 것이다.

\[(1+\frac{1}{3})^3 = 2.3703704\cdots\]

수익이 더 높아졌다. 이자를 이런 식으로 받으면 수익은 언제나 더 높아지는 것일까? 즉, 만약 단위기간을 1년의 n분의 1로 하고, 이자를 n분의 1 비율의 복리로 받게 된다면, 1년후, 이 돈은 얼마가 되는 것일까. 이렇게 될 것이다.

\[(1 + \frac{1}{n})^n\]

이제 오늘 내가 할 것은, 바로 이 수열에 대한 것이다.

  1. 이자율은 아무리 잘게 쪼개도 200%는 안 된다.
  2. 그렇지만 이자를 잘게 쪼개서 받을수록 수익률은 더 높다.

이 두가지 사실이 수학적으로 의미하는 사실은,

ㅣ\((1 + \frac{1}{n})^n\)

이라는 수열은, 유계인 단조증가 수열이라는 것이다. 따라서 지난번 “리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장“에서 언급한, 실수의 완비성에 의해, 이 수열은 수렴하게 된다. 이 때, 수열의 극한값을 e, 자연상수라고 부르는 것이다.

 

수열

 

\((1 + \frac{1}{n})^n<3\) 의 증명

\((1 + \frac{1}{n})^n\)는 증가수열 및 자연상수의 정의.

 

 

수열의 수렴[편집]

  • 정의에 사용된 수열은 매우 느리게 수렴함

\[a_n=(1 + \frac{1}{n})^n\]

3623769-e.gif

  • \(a_1\)부터 \(a_{20}\)까지의 값
    2.0000000000000000000
    2.2500000000000000000
    2.3703703703703703704
    2.4414062500000000000
    2.4883200000000000000
    2.5216263717421124829
    2.5464996970407131139
    2.5657845139503479004
    2.5811747917131971820
    2.5937424601000000000
    2.6041990118975308782
    2.6130352902246781603
    2.6206008878857322211
    2.6271515563008693884
    2.6328787177279190470
    2.6379284973665998588
    2.6424143751831096203
    2.6464258210976854673
    2.6500343266404449073
    2.6532977051444201339

   

급수의 수렴[편집]

  • 다음 급수는 빠르게 자연상수로 수렴하므로 자연상수의 십진법 전개를 계산하는데 사용될 수 있음\[b_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\]
  • \(b_1\)부터 \(b_{20}\)까지의 값
    2.00000000000000000000000000000
    2.50000000000000000000000000000
    2.66666666666666666666666666667
    2.70833333333333333333333333333
    2.71666666666666666666666666667
    2.71805555555555555555555555556
    2.71825396825396825396825396825
    2.71827876984126984126984126984
    2.71828152557319223985890652557
    2.71828180114638447971781305115
    2.71828182619849286515953182620
    2.71828182828616856394634172412
    2.71828182844675900231455787011
    2.71828182845822974791228759483
    2.71828182845899446428546957647
    2.71828182845904225905879345033
    2.71828182845904507051604779585
    2.71828182845904522670811748171
    2.71828182845904523492875272834
    2.71828182845904523533978449067
     

 

자연상수의 소수점 1000자리까지의 전개[편집]

  • 소수점 1000자리 십진전개
    2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407\
    6630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572\
    9003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341\
    8793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544\
    2437107539077744992069551702761838606261331384583000752044933826560297\
    6067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086\
    5746377211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688\
    9230098793127736178215424999229576351482208269895193668033182528869398\
    4964651058209392398294887933203625094431173012381970684161403970198376\
    7932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125\
    0996181881593041690351598888519345807273866738589422879228499892086805\
    8257492796104841984443634632449684875602336248270419786232090021609902\
    3530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642\
    4378140592714563549061303107208510383750510115747704171898610687396965\
    521267154688957035035

 

   

재미있는 사실[편집]

  • \(e^{-e}<x<e^{1/e}\) 인 x에 대해 \({{{x^x}^x}^x}^{...}\)은 극한을 갖는다.


 

역사[편집]

 

 

메모[편집]

 

 

관련된 항목들[편집]

 

 

사전 형태의 자료[편집]

 

 

관련논문과 에세이[편집]

 

관련도서[편집]

  • 오일러가 사랑한 수 e (경문수학산책16) e : (The) Story of a number
    • 엘리 마오 지음, 허민, 옮김, 경문사, 2000-12-01

 


관련기사[편집]


블로그[편집]