자연상수 e는 초월수이다

수학노트
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증명

린데만-바이어슈트라스 정리를 사용하여 증명한다.

 

일반적으로 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수임을 증명하자.

\(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하면면  린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\) 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서 \(e^{\alpha}\) 는 초월수이다.

\(\alpha=1\) 인 경우로부터, \(e\)가 초월수임을 얻는다.

 

 

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