린데만-바이어슈트라스 정리

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기

개요[편집]

린데만-바이어슈트라스 정리[편집]

서로 다른 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 에 대하여, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.

또는

대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 \(\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})\)의 transcendence degree가 n이다.




지수함수와 초월수[편집]

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수이다.

(증명)

\(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\)  는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서\(e^{\alpha}\) 는 초월수이다. ■



지수함수의 실수부와 허수부[편집]

실수가 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\operatorname{Re}e^{\alpha}\)와 \(\operatorname{Im}e^{\alpha}\)는 초월수이다.

(증명)

\(\operatorname{Re}e^{\alpha}=\beta\)가 대수적수라고 가정하자. \(\beta\)가 0이 아님은 쉽게 알 수 있다.

\(\alpha=a+bi\) 라 하면, \(2\beta=e^{a+bi}+e^{a-bi}\)이다.

\(e^{a+bi}+e^{a-bi}-2\beta e^0 =0\)

이제 린데만-바이어슈트라스 정리를 적용하면 원하는 결론을 얻는다. ■




로그함수의 경우[편집]

지수함수의 경우로부터 다음을 얻는다.

0또는 1이 아닌 실수인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\log \alpha\) 는 초월수이다.



삼각함수의 경우[편집]

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\sin {\alpha}\)는 초월수이다.

(증명) \(\{i\alpha,0 -i\alpha\}\) 는 서로 다른 대수적 수이므로, 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여 \[\sin {\alpha} = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\] 는 초월수이다. (증명끝)

마찬가지로 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\cos \alpha\)는 초월수이다. ■


0이 아닌 대수적수 \(\alpha\)에 대하여 \(\tan \alpha\)는 초월수이다.

(증명)

\(\beta= \tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}\)가 대수적수라고 가정하자.

\(\beta i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})= e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}\)

\((1-i\beta){e^{i\alpha}-(1+i\beta)e^{-i\alpha}}=0\)

이는 린데만-바이어슈트라스 정리에 모순. ■



\(\pi\) 는 초월수이다[편집]



역사[편집]


관련된 다른 주제들[편집]

사전형태의 자료[편집]






관련링크 및 웹페이지[편집]

메타데이터[편집]

위키데이터[편집]