"후르비츠-크로네커 유수"의 두 판 사이의 차이

2015년 6월 14일 (일) 23:23 판

개요

$\mathcal{Q}_d$는 $-d=b^2-4ac$를 만족하는 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) $Q=[a,b,c]=ax^2+2bxy+cy^2$의 집합
모듈라군 $\Gamma=PSL(2,\mathbb{Z})$은 $\mathcal{Q}_d$에 작용
각각의 $Q$에 대하여, 자기동형군 $\Gamma_{Q}$을 생각, $w_{Q}=|\Gamma_{Q}|$
- $w_Q=2$ if $Q\sim [a,0,a]$
- $w_Q=3$ if $Q\sim [a,a,a]$
- 다른 경우 $w_Q=1$
후르비츠-크로네커 수는 다음과 같이 정의

\[H(d)=\sum_{Q\in \mathcal{Q}_d/\Gamma} \frac{1}{w_Q}\]

예

판별식이 작은 경우의 이차형식 목록

$d=3$

$Q=x^2+xy+y^2$, $w_Q=3$

$d=4$

$Q=x^2+y^2$, $w_Q=2$

$d=12$

$Q=3x^2+y^2$,$w_Q=1$
$Q=2x^2+2xy+2y^2$, $w_Q=3$

$d=15$

$Q=x^2+xy+4y^2$, $w_Q=1$
$Q=2x^2+xy+2y^2$, $w_Q=1$

후르비츠-크로네커 유수

\[ H(3)=\frac{1}{3}\\ H(4)=\frac{1}{2}\\ H(12)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\\ H(15)=2\]

생성함수

다음과 같이 생성함수를 정의하자

$$ \mathcal{H}_1(\tau):=\sum_{n=0}^{\infty}H(n)q^n,\, q=e^{2\pi i n} $$

$\mathcal{H}_1$는 적당한 항을 더하여, weight $3/2$인 유사 모듈라 형식(mock modular form) 으로 만들 수 있다

테이블

\begin{array}{c|c} d & 12H(d) \\ \hline 0 & -1 \\ 3 & 4 \\ 4 & 6 \\ 7 & 12 \\ 8 & 12 \\ 11 & 12 \\ 12 & 16 \\ 15 & 24 \\ 16 & 18 \\ 19 & 12 \\ 20 & 24 \\ 23 & 36 \\ 24 & 24 \\ 27 & 16 \\ 28 & 24 \\ 31 & 36 \\ 32 & 36 \\ 35 & 24 \\ 36 & 30 \\ 39 & 48 \\ 40 & 24 \\ 43 & 12 \\ 44 & 48 \\ 47 & 60 \\ 48 & 40 \\ \end{array}

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWTNfbTlUZkhxUE0/edit

@@ 7번째 줄: / 7번째 줄: @@
 ** 다른 경우 $w_Q=1$
 * 후르비츠-크로네커 수는 다음과 같이 정의
-:<math>H(d)=\sum_{Q\in Q_d/\Gamma} \frac{1}{w_Q}</math>
+:<math>H(d)=\sum_{Q\in \mathcal{Q}_d/\Gamma} \frac{1}{w_Q}</math>
 ==예==