정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)

수학노트
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개요



기본용어

  • 판별식\[\Delta=b^2-4ac\]
  • primitive 이차형식은 \(a,b,c\) 가 서로소인 이차형식 \(ax^2+bxy+cy^2\)으로 정의됨


정수계수 이변수 이차형식의 동치류

  • 다음 두 변환에 의해 같아지는 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의

\[x \to x+y, y \to y\] \[x \to x, y \to x+y\]

\[T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , R=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] $$ S=\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) $$로 두면, $S=T^{-1}RT^{-1}$

  • 즉 \(f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)\) 인 정수 $a,b,c,d,\, ad-bc= 1$가 존재하면, \(f\sim g\) 이라 함

중요한 문제들

  • 정수의 이차형식 표현
    • 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가?
    • 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가? 예로 이차형식 x^2+27y^2 항목 참조
  • 주어진 판별식\(\Delta<0\) 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제
    • \(\Delta=b^2-4ac\)를 만족시키는 모든 \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것
    • 주어진 판별식을 가지는 이차형식의 동치류는 유한 개 있다
    • 판별식이 \(\Delta\)인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 \(h(\Delta)\)를 \(\Delta\)에 대한 유수 라 함
    • genus의 개념


기약 형식과 fundamental domain

  • 주어진 이차형식이 있을때,
  • 모듈라 군의 작용에 의한 복소상반평면의 fundamental domain은 다음과 같다\[R = \left\{ \tau \in \mathbb{H}: \left| \tau \right| \geq 1,\, \left| \,\mbox{Re}(\tau) \,\right| \leq \frac{1}{2} \right\}\] + 경계조건
  • 기약 형식
    • 양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름
    • \(|b|\leq a \leq c\) and \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\)
  • \(ax^2+bxy+cy^2=a(x-\tau y)(x-\bar{\tau} y)\), \(\mbox{Im}\, \tau >0\) 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다\[|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}\]\[a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1\] fundamental domain의 경계조건은 \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\) 로 옮겨짐


정리

\(\tau\) (\(\mbox{Im}\, \tau >0\)) 에 대응되는 이차형식은 \(x=aX+bY, y=cX+dY\) (여기서 \(a,b,c,d\)는 정수이고 \(ad-bc= 1\))에 의해 \(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\) 에 대응되는 이차형식으로 변환된다.



판별식이 작은 경우의 기약형식 예


가우스의 class number one 문제

  • 기본판별식(fundamental discriminant)
    • \(\Delta=\Delta_0f^2\) 의 형태로 쓸 수 없는 \(\Delta\) (\(\Delta_0\)는 적당한 판별식, \(f\)는 1보다 큰 정수)
    • 이차 수체(quadratic number fields) 로부터 얻어지는 판별식임
  • 가우스의 문제
    • 기본판별식 \(\Delta<0\) 에 대하여 \(h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163\)
  • 일반적으로는 다음과 같음
    • \(h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-12, -16,-19,-27,-28,-43,-67,-163\)
  • 가우스의 class number one 문제 항목에서 자세히 다룸


genus


이차형식과 이차 수체의 아이디얼 사이의 대응

  • 이차형식과 이차 수체의 아이디얼을 대응시킴으로서, 주어진 판별식을 갖는 이차형식의 합성을 정의할 수 있음
    • 이차형식의 합성이란 \((x_ 1^2+y_ 1^2)(x_ 2^2+y_ 2^2)=(x_ 1x_ 2-y_ 1y_ 2)^2+(x_ 1y_ 2-x_ 2y_ 1)^2\)와 같은 공식의 일반화
  • \(ax^2+bxy+cy^2\)가 양의정부호 즉 \(a>0\), \(\Delta=b^2-4ac<0\) 를 만족할 때, 대응되는 아이디얼은 \([2a, -b+\sqrt\Delta]\)로 주어짐



메모

역사



사전형태의 참고자료



관련된 항목들



리뷰, 에세이, 강의노트

관련논문

  • Uludağ, A. Muhammed, Ayberk Zeytin, and Merve Durmuş. “Binary Quadratic Forms as Dessins.” arXiv:1508.01677 [math], August 7, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01677.