이차형식의 합성

개요

• 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)의 중요한 주제로 다음과 같은 공식의 일반화

\[ (x_ 1^2+y_ 1^2)(x_ 2^2+y_ 2^2)=(x_ 1x_ 2-y_ 1y_ 2)^2+(x_ 1y_ 2-x_ 2y_ 1)^2,\\ (x^2+Dy^2)(u^2+Dv^2)=(x u- y v D)^2+D(x v+y u)^2 \]

• \(ax^2+bxy+cy^2\)가 양의 정부호 즉 \(a>0\), \(\Delta=b^2-4ac<0\) 를 만족할 때, 대응되는 ideal은 \([2a, -b+\sqrt\Delta]\)로 주어짐

예

판별식이 -3인 이차형식

• 이차형식 x^2+xy+y^2

\[ (u^2+u v+v^2)(x^2+x y+y^2)=(u x+v y)^2+(u x+v y) (v x+u y+v y)+(v x+u y+v y)^2 \]

판별식이 -31인 이차형식

• 2013년 전국 대학생 수학 경시대회 1분야 5번 문제
• \(2x^2+x y +4y^2\) 꼴로 표현되는 정수 집합이 곱셈에 대해 닫혀 있음을 보이는 문제
• 이차형식 \(Q(x,y)=2x^2+x y +4y^2\)가 다음을 만족함을 보여 알 수 있다

\[ Q(x,y)Q(u,v)=Q(2x v+2 y u+y v,x u-2y v) \]

관련된 항목들

• 수체의 유수 (class number)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZVJCamRLS1VXazQ/edit

리뷰, 에세이, 강의노트

• Edwards, Harold M. 2007. “Composition of Binary Quadratic Forms and the Foundations of Mathematics.” In The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae, edited by Catherine Goldstein, Norbert Schappacher, and Joachim Schwermer, 129–144. Springer Berlin Heidelberg. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-34720-0_4.

관련논문

• O’Dorney, Evan. “Rings of Small Rank over a Dedekind Domain and Their Ideals.” arXiv:1508.02777 [math], August 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.02777.
• Bhargava, Manjul. “Higher Composition Laws I: A New View on Gauss Composition, and Quadratic Generalizations.” Annals of Mathematics 159, no. 1 (January 1, 2004): 217–50. doi:10.4007/annals.2004.159.217.