이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식

수학노트
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개요


데데킨트 제타함수

\[\zeta_{K}(s):=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}\]

  • \(d_K\)는 이차수체 \(K\)의 판별식
  • \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\)에 대하여 다음을 정의

\[L_{d_K}(s):=L(s, \chi)\] 여기서 $L(s,\chi)$는 디리클레 L-함수

  • 다음 성질

$$ \zeta_{K}(s)=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}} $$ 을 이용하면, $\zeta_{K}(s)$는 두 L-함수의 곱으로 표현가능 \[\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(s,\chi)=\zeta(s)L_{d_K}(s)\]


복소이차수체에 대한 디리클레 유수 공식

디리클레 유수 공식

복소 이차 수체(imaginary quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다. \[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\] 여기서 \(h_K\) 는 유수, \(w_K\)는 \(\mathcal{O}_K\) 의 unit group의 크기, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant)

다음과 같이 $L(1,\chi)$ 값의 표현으로 이해할 수도 있다 \[L(1,\chi)=L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\]


따름정리

\(q \geq 2\) 는 소수라 가정하자.

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\), \(q \geq 7\) , \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우

\(d_K=-q\)

\[\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\]

\(\chi(-1)=-1\), 가우스 합은 \(\tau(\chi)=i\sqrt{q}\)

디리클레 L-함수 에서 얻은 결과를 이용하면, 다음을 얻는다

\[L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a=\frac{\pi h_K}{\sqrt{q}}\] \[h_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\]


\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\) , \(q \geq 5\) , \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우

\(d_K=-4q\)

\(\chi(-1)=-1\), 가우스 합은 \(\tau(\chi)=2i\sqrt{q}\)

마찬가지로 디리클레 L-함수 에서 얻은 결과를 이용하면, 다음을 얻는다

\[L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}\sum_{(a,4q)=1}\chi(a) a=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{q}}\] \[h_K=-\frac{1}{4}\sum_{a=1,(a,4q)=1}^{4q-1}(-1)^{\frac{a-1}{2}}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\]



\(n \geq 2\)가 squarefree라 하자.

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-n})\) 의 경우

\(n \geq 5\) 이고 \(n \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우, \(d_K=-4n\) \[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{n}}\]

\(n \geq 7\) 이고 \(n \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우, \(d_K=-n\) \[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{\pi h_K}{\sqrt{n}}\]



증명

\(A=\frac{\sqrt{|d_K|}}{2}\)는 \(\mathcal{O}_K\) 의 integral basis가 만드는 평행사변형의 면적이라고 하자.

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\)

여기서 \(a_n\) 은 norm 이 \(n\)인, 모든 ideal의 개수이다.

\(a_n(C)\) 는 ideal class \(C\) 에서, norm 이 \(n\)인 ideal의 개수로 정의하자.

증명의 아이디어

각각의 ideal class에 대하여, 주어진 norm 보다 작은 ideal의 개수를 estimate한다

즉, \(A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C)\) 의 크기를 알아보면 된다.

  • principal ideal class \(C\)
    • \(A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C)\)
    • \(|A_M(C)-\frac{\pi}{Aw}M|\leq C \sqrt{M}\), C는 적당한 상수
  • 다른 아이디얼 클래스 \(C'\)
    • \(A_M(C')=\sum_{n=1}^M a_n(C')\)
    • \(|A_M(C')-\frac{\pi}{Aw}M|\leq C' \sqrt{M}\) 임을 보일 수 있다.
  • 유수의 유한성에 의하여, 적당한 상수 \(C_K\)가 존재하여\[|A_M-\frac{\pi h}{Aw}M|\leq C_K \sqrt{M}\] 가 성립한다.

다음과 같이 L-급수를 정의하자. \[f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}\]

위에서 얻은 부등식에 의하여, 다음부등식을 얻는다. \[|\sum_{n=1}^{M}(a_n-\frac{h\pi}{Aw})|=|A_M-\frac{h\pi }{Aw}M|\leq C_K \sqrt{M}\]

따라서 \[f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}\] 는 \(s > \frac{1}{2}\) 에서 수렴하고, \(f(1)\) 이 존재한다.

\(s > 1\) 이면, \[f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}=\zeta_{K}(s)-\frac{h\pi}{Aw}\zeta(s)\] \[\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\lim_{s\to 1} (s-1)f(s)+\lim_{s\to 1} (s-1)\frac{h\pi}{Aw}\zeta(s)=\frac{h\pi}{Aw}\]



실 이차수체에 대한 디리클레 유수 공식

디리클레 유수 공식

실 이차 수체(real quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다. \[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}\] \(h_K\) 는 유수, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant), \(\epsilon_K\)은 fundamental unit



따름정리

실 이차수체 \(K\), \(d_K=q\)는 판별식

\(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\)

\(L_{d_K}(s):=L(s, \chi)\)

\[L_{d_K}(1)=L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{q}\sum_{a=1,(a,q)=1}^{q-1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{q})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}\]


소수 \(q\)에 대하여, \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})\)

\(q \geq 5\), \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우

\[2 h_K \ln \epsilon_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{q})\]

\(q \geq 3\), \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우

\[2 h_K \ln \epsilon_K=-\sum_{a=1,(a,4q)=1}^{4q-1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{4q})\]

로 주어진다.



증명

\(q \geq 5\), \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우 \(d_K=q\) \[\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=L_{d_K}(1)\] 이므로 디리클레 L-함수 에서 얻어진 결과 \[L_{d_K}(1)=L(1,\chi)=-\frac{1}{\sqrt{q}}\sum_{a=1}^{q-1}(\frac{a}{q})\log(\sin \frac{a\pi}{q})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{q}}\]

\(q \geq 3\), \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우 \(d_K=4q\)

소수 \(p \neq 2 , q\)에 대하여 \[\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)\]

마찬가지로 디리클레 L-함수 에서 얻어진 결과에 의하여

\[L(1,\chi)=-\frac{1}{2\sqrt{q}}\sum_{(a,4q)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{4q})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{2\sqrt{q}}\]


(증명끝)



\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})\), \(\epsilon_K=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\), \(d_K=5\), \(h_K=1\) \[h_K =\frac{-1}{{2 \ln \epsilon_K} }\sum_{a=1}^{4}(\frac{a}{5})\log(\sin \frac{a\pi}{5})=1\]

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{13})\), \(\epsilon_K=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\), \(d_K=13\), \(h_K=1\) \[h_K =\frac{-1}{{2 \ln \epsilon_K} }\sum_{a=1}^{12}(\frac{a}{13})\log(\sin \frac{a\pi}{13})=1\]

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})\), \(d_K=12\), \(\epsilon_K=2+\sqrt{3}\), \(h_K=1\)

\[-\sum_{(a,12)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{12})=-(\log\sin\frac{\pi}{12}-\log\sin\frac{5\pi}{12}-\log\sin\frac{7\pi}{12}+\log\sin\frac{11\pi}{12})= 2\ln (2+\sqrt{3})=2.6339\cdots \]


\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})\) , \(d_K=28\), \(\epsilon_K=8+3\sqrt{7}\), \(h_K=1\) \[-\sum_{(a,28)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{28})=2\ln (8+3\sqrt{7})=5.53732\cdots\]




가우스합과 유수

  • 7이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 에 대하여 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\) 의 유수는 다음과 같다

\[h_K=-\sum_{a=1}^{p-1}\left(\frac{a}{p}\right)\frac{a}{p}\]

  • 디리클레 L-함수 항목 참조
  • 이 결과와 순환소수를 결합하면 [[순환소수와 이차 수체의 유수] 의 멋진 결과를 얻을 수 있다



역사

  • 수학사 연표
  • 1837 - 디리클레가 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명



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사전 형태의 자료



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