가우스의 class number one 문제

수학노트
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개요

  • 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\)의 유수(class number) 1인 경우, 즉 그 정수집합이 UFD가 되는 경우는 다음 9가지가 있음.
    • \(d=1,2,3,7,11,19,43,67,163\)



스케치

step 0

  • \(h(\mathbb{Q}(\sqrt{-d}))=1\) 이라고 가정하자
  • reduce to \(d=p\equiv 3 \pmod 8\)
  • \(d\equiv 1,2 \pmod 4\) 이면 \(d=1,2\)
  • \(d\equiv 7 \pmod 8\) 이면 \(d=7\)



리뷰 : 베버 모듈라 함수

\(\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\)

\(\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\)

\(\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\)

\(\gamma_2(\tau)=\sqrt[3]{j(\tau)}\)



step 1

  • \(d=p\equiv 3 \pmod 8\) 를 가정하자
  • \(\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2\) 이면, \(\gamma_2(\tau_0)\in \mathbb{Z}\) 이다



step 2

\(\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}_2(\tau)^{24}+16}{\mathfrak{f}_2(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}\)

\(x^{24}-\gamma_2(\tau)x^8+16=0\)

step 3

  • \(d=p\equiv 3 \pmod 8\)라 하자.
prop

\(\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\in\mathbb{Q}(j(\sqrt{-p}))\) generates a cubic extension of \(\mathbb{Q}\).

증명

J-불변량과 모듈라 다항식에 의해 다음이 성립한다 $$\Phi_2\bigl(j(2\tau),j(\tau)\bigr)=0$$ 여기서 $$\Phi_2(x,y)=x^3+y^3-x^2 y^2+1488 (x^2 y + x y^2)-162000 (x^2+y^2) +40773375x y+8748000000 (x + y)-157464000000000$$

  • \(\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2\), \(\alpha=\zeta_{8}\mathfrak{f}_2(\tau_0)^2\) 로 두자.
prop

\(\alpha^4=-\mathfrak{f}_2(\tau_0)^8\)는 \(x^{3}-\gamma_2(\tau_0)x-16=0\) 의 해이다

prop

\(\alpha=2/\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\)이고, 따라서 $\alpha$는 3차 정수 계수 다항식 \(x^3+ax^2+bx+c=0\) 의 해이다

증명

다음의 성질을 이용하여, $\zeta_{8}\mathfrak{f}_2(\tau_0)^2\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2=2$를 보일 수 있다

  • \(\mathfrak{f}(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}_ 1(\tau)\)
  • \(\mathfrak{f}_ 1(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}(\tau)\)
  • \(\mathfrak{f}_ 1(2\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2\)

$$y^2=2x(x^3+1)=2x^4+2x$$

역사



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