디리클레 L-함수

수학노트
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개요

  • 리만제타함수의 일반화
  • primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) 디리클레 캐릭터\(\chi \colon(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\) 에 대하여, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 정의함.\[L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1\]
  • 위에 등장하는 준동형사상의 일반적인 이론에 대해서는 순환군의 표현론유한군의 표현론 항목을 참조


  • 리만제타함수는 \(q=1\), \(\chi=1\) 인 경우에 해당
  • 디리클레 베타함수 \(q=4\), \(\chi(1)=1\), \(\chi(-1)=-1\) 인 경우
  • 이차수체 \(K\), \(d_K\)는 판별식
  • \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\)
  • 다음과 같이 정의된 L-함수는 이차수체 \(K\)를 이해하는 중요한 도구. 이에 대해서는 데데킨트 제타함수 항목을 참조\[L_{d_K}(s):=L(s, \chi)\]



해석적 확장

\[\int_0^\infty e^{-nt} t^{s} \frac{dt}{t} = \frac{\Gamma(s)}{n^s}\] 을 이용하여, 다음과 같이 쓸 수 있다 \[\Gamma(s)L(s, \chi)= \int_0^\infty (\sum_{n\geq 1}\chi(n)e^{-nt})t^{s}\frac{dt}{t}\]

  • \(g(y)=\chi(1)y+\cdots+\chi(q-1)y^{q-1}\) 으로 두면,

\[\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=\frac{g(y)}{1-y^q}, \quad 0<y<1\]

  • \(g(y)\)는 \(y\)와 \(1-y\)를 인수로 가지므로, 적당한 다항식 \(h(y)\)에 대하여 \(g(y)=y(1-y)h(y)\)로 표현가능\[\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=y(\frac{h(y)}{1+y+\cdots+y^{q-1}})=yk(y)\]

여기서 \(k(y)\)는 \(C^{\infty}([0,1])\)이고 유계가 됨

  • 디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴\[L(s, \chi)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty k(e^{-t})e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}\]
  • 위의 식에서 \(l(t)\)와 그 도함수들은 유계인 함수이므로, 감마함수의 해석적확장에서와 마찬가지로, \(\int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}\)는 \(s=0,-1,-2,\cdots\)에서 단순 pole을 갖게 된다.
  • 따라서 \(L(s, \chi)\)는 모든 복소평면에서 해석인 함수로 확장됨



함수방정식

  • L-함수를 약간 변형하여 다음과 같이 함수를 정의\[\Lambda(s,\chi)=(\frac{\pi}{q})^{-{(s+a_{\chi})}/{2}}\Gamma(\frac{s+a_{\chi}}{2})L(s,\chi)\]
  • 다음 함수방정식을 만족시킴\[\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^{a_{\chi}}\sqrt{q}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi)\]
  • 위에서 사용된 기호에 대한 설명\[a_{\chi}=\frac{1-\chi(-1)}{2}\]
    • \(\chi(-1)=-1\) 이면 \(a_{\chi}=1\)
    • \(\chi(-1)=1\) 이면 \(a_{\chi}=0\)
    • \(\Gamma(s)\)는 감마함수
    • \(\tau(\chi)=\sum_{(j,q)=1}\chi(j)e^{2\pi i j/q}\)는 가우스합

예1

  • 디리클레 베타함수의 경우
    • \(q=4\), \(\chi(-1)=-1\), \(a_{\chi}=1\) 인 경우에 해당
    • \(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)\)
    • 가우스합은 \(\tau(\chi)=2i\)이므로 함수방정식은 다음과 같음\[\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\]

예2

  • \(\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)
    • \(q=3\), \(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\), \(\chi(-1)=-1\), \(a_{\chi}=1\) 인 경우에 해당
    • \(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{3})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L_{-3}(s)\)
    • 가우스합은 \(\tau(\chi)=\sqrt{3}i\) 이므로 함수방정식은 다음과 같음\[\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\]


\(L(1,\chi)의 값\)


\(L'(1,\chi)\) 의 값

\[L(1,\chi)=L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\]

\[L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\]

\[L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\]


역사


메모




관련된 항목들

사전 형태의 자료



관련도서


관련논문

  • Khan, Rizwanur, and Hieu T. Ngo. “Nonvanishing of Dirichlet L-Functions.” arXiv:1512.04030 [math], December 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.04030.
  • Omar, Sami, Raouf Ouni, and Kamel Mazhouda. “On the Zeros of Dirichlet $L$-Functions.” arXiv:1507.03431 [math], July 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.03431.
  • Veklych, Bogdan. ‘A One-Formula Proof of the Nonvanishing of L-Functions of Real Characters at 1’. arXiv:1412.5162 [math], 15 December 2014. http://arxiv.org/abs/1412.5162.
  • Mathar, Richard J. “Table of Dirichlet L-Series and Prime Zeta Modulo Functions for Small Moduli.” arXiv:1008.2547 [math], August 15, 2010. http://arxiv.org/abs/1008.2547.