유한군의 표현론

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  • 유한군의 표현론

 

 

개요

  • 군 표현론(group representation theory)
  • 군을 벡터공간의 선형변환으로 나타내어, 군의 성질을 알아보려 함.
  • 군론의 문제들을 선형대수를 통해서 이해할 수 있게 됨.
  • 푸리에 해석, 좀더 일반적으로 조화해석의 일종으로 이해할 수 있음.

 

 

표현론의 흔적이 반영된 학부수학

경우 1.

  • 코쉬정리에 의하면, 모든 유한군은 대칭군의 부분군으로 생각할 수 있음.
  • 대칭군 \(S_n\) 의 원소들은 \(n \times n \) 치환행렬로 나타낼 수 있음.
  • 따라서 모든 유한군은 행렬로 나타낼 수 있음.

경우 2.

  • nxn 실수 행렬의 곱셈은 결합법칙을 만족시키는가를 증명하는 법 두 가지
    • 첫번째, 직접 계산
    • 두번째, nxn 행렬을 R^n 을R^n으로 보내는 함수로 보면, 함수는 당연히 결합법칙을 만족하고, 행렬의 곱셈은 함수의 합성과 같으므로 곱셈은 결합법칙을 만족시킴.
  • 첫번째 방법은 단지 결과를 확인할 뿐이나, 두번째 방법은 개념적인 이해를 가능하게 해주는 장점이 있음.

 

 

입문

  • 군 = 무언가의 대칭 = 대칭을 가지는 대상에 작용하는 변환
  • dihedral group을 정의하는 방법
    • generator and relation을 사용하는 정의
    • 다른 하나는 정다각형의 symmetry로 정의하는 방법
  • generator and relation을 사용하는 정의하는 경우는 여러가지 계산을 할수 있긴 하지만, 사실 기하학적인 정의없이는 의미없는 계산을 하고 있다고 생각하기 쉬움
  • 주어진 군이 작용하고 있는 어떤 대칭적인 수학적 대상을 알지 못하면, 군에 대한 이해를 했다고 말하기가 어려움.
  • 군이 어디에 작용을 하고 있는가 혹은 이 군은 대체 어디서 기원하는가 하는 질문들이 유한군 표현론의 중요한 질문들
  • diheral  group이 주어져 있다면, 정다각형에 group이 어떻게 작용하고 있는가를 보면서, 2x2 행렬로 각각의 원소를 써볼 수 있음.
    • 자연스럽게 군에서 GL(2, R)로 가는 homomorphism이 얻어지게 됨.
  • 이런방식으로 symmetry를 벡터공간 쪽으로 가져 가면 좀더 일관적이고 체계적인 공부가 가능해지게 됨.

 

 

추상적인 정의

  • 벡터공간 V에 주어진 군의 표현이란, 준동형사상 \(\rho \colon G \to GL(V) \,\!\) 을 말함.
  • \(\rho\)의 캐릭터는 \(\chi_{\rho}(g) = \mathrm{Tr}(\rho(g))\)로 정의됨
  • \(L^2(G)=\{f: G \to \mathbb{C}\}\) 의 내적은 다음과 같이 주어짐\[\left \langle \alpha, \beta\right \rangle := \frac{1}{ \left | G \right | }\sum_{g \in G} \alpha(g) \overline{\beta(g)}\]

 

 

기약캐릭터의 직교성

  • 기약인 캐릭터 \(\chi_i\)와 \(\chi_j\)에 대하여 다음이 성립한다

\(\left \langle \chi_i, \chi_j \right \rangle = \begin{cases} 0 & \mbox{ if } i \ne j, \\ 1 & \mbox{ if } i = j. \end{cases}\)

  • 기약 캐릭터의 직교성에 의하여 아벨군 \(G\) 와 함수 \(f:G \to \mathbb C\)에 대하여 다음과 같이 표현할 수 있다.\[f=\sum_{\chi \in \hat{G}} \left \langle f, \chi \right \rangle \chi\]

 

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