디리클레 베타함수

수학노트
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개요

  • 정의\[\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}\]
  • \(\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\) , \(\chi(1)=1\), \(\chi(-1)=-1\) 인 경우의 디리클레 L-함수이다

\[L_{-4}(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=1-3^{-s}+5^{-s}-7^{-s}+9^{-s}-11^{-s}+\cdots, s>1\]

  • 함수방정식 \(\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\) 여기서

\[\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)\]


Special values

  • 아래에서 \(E_n\)은 오일러수이며, 다음과 같이 주어짐 ($n$이 홀수이면, $E_n=0$)

$$ \begin{array}{c|c} n & E_n \\ \hline 0 & 1 \\ 2 & -1 \\ 4 & 5 \\ 6 & -61 \\ 8 & 1385 \\ 10 & -50521 \\ 12 & 2702765 \\ 14 & -199360981 \\ 16 & 19391512145 \\ 18 & -2404879675441 \\ 20 & 370371188237525 \end{array} $$

  • \(k\geq 0 \) 인 정수일 때,\[\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!}}\]
  • \(k\geq 0 \)인 정수일 때,\[\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}\]\[\beta(0)= \frac{1}{2}\]\[\beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4}\]\[\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}\]\[\beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536}\]\[\beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}\]\[G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots\]

증명

정수에서의 리만제타함수의 값 에서 사용한 방식을 모방한다.

\(\beta(5)\)의 경우를 예로 구해보자. 다음과 같은 함수 $$f(z):=\frac{\pi/2\sec(\pi z/2)}{z^{5}}$$에 대하여, 다음의 적분을 생각하자. \[\oint_{C_{R}}f(z)dz\] 여기서 \(C_{R}\)는 원점을 중심으로 반지름이 \(R\) 인 원이다. 이때 \(R\)이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.

유수정리를 사용하자. 정수 \(2k+1\)에 대하여 \(z\approx 2k+1\) 이면, \(\pi/2 \sec \pi z/2 \approx \frac{(-1)^{k+1}}{z-(2k+1)}\) 이므로, \(f(z)\)의 정수 \(2k+1\)에서의 유수(residue)는 \((-1)^{k+1}\frac{1}{(2k+1)^{5}}\)로 주어진다.

시컨트 함수의 멱급수 전개 (삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수 참조) \[\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}\] 를 이용하면, $f$의 $z=0$에서의 유수는 \[\frac{\pi}{2}\times \frac{5}{24}\times \frac{\pi^4}{16}\]임을 알 수 있다.

그러므로 모든 유수의 합은 \[0=\frac{5\pi^5}{768}+\sum_{-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)^{5}}=\frac{5\pi^5}{768}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)^{5}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{-n}}{(2n-1)^{5}}=\frac{5\pi^5}{768}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^{5}}\]

따라서 \[\beta(5)=\frac{5\pi^5}{1536}\]

일반적인 자연수 \(k\) 에 대하여도 마찬가지 방법으로 \[\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}}\] 을 얻는다.

또한 함수방정식으로부터 \(\beta(0)=\frac{1}{2}\) 와 나머지 짝수인 음의 정수에서의 값을 구할 수 있음



special values for derivative \(\beta'(1)\)

  • \(\beta'(1)\) 의 값
  • 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)를 사용하면, 함수를 다음과 같이 쓸 수 있음\[\beta(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\]
  • 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function) 의 에르미트 표현\[\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\]
  • 미분은 다음과 주어짐\[\beta'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}\]\[\beta'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-\beta(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}=\log\frac{\Gamma(1/4)}{2\Gamma(3/4)}\]
  • 함수방정식 \[\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)\]

\[\Lambda'(s)=(\frac{\pi}{4})^{-(s+1)/2}(-\frac{1}{2}\log\frac{\pi}{4})\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma'(\frac{s+1}{2})\beta(s)+(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta'(s)\] \[\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\]\[\Lambda'(s)=-\Lambda'(1-s)\] 을 이용하면\(\beta'(0)\)과 \(\beta'(1)\)의 관계를 찾을 수 있다

\[ \begin{aligned} \Lambda'(0)&=(\frac{\pi}{4})^{-{1}/{2}}(-\frac{1}{2}\ln\frac{\pi}{4})\Gamma(\frac{1}{2})\beta(0)+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})^{-{1}/{2}}\Gamma'(\frac{1}{2})\beta(0)+(\frac{\pi}{4})^{-{1}/{2}}\Gamma(\frac{1}{2})\beta'(0) \\ {}&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\ln(\frac{2}{\sqrt{\pi}})\frac{\sqrt{\pi}}{2}+\frac{1}{2}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\Gamma'(\frac{1}{2})\frac{1}{2}+\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\pi}\beta'(0) \\ {}& =\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}-\ln 2 -\frac{\gamma}{2}+2\beta'(0) \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \Lambda'(1)&=(\frac{\pi}{4})^{-{(1+1)}/{2}}(-\frac{1}{2}\ln\frac{\pi}{4})\Gamma(\frac{1+1}{2})\beta(1)+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})^{-{(1+1)}/{2}}\Gamma'(\frac{1+1}{2})\beta(1)+(\frac{\pi}{4})^{-{(1+1)}/{2}}\Gamma(\frac{1+1}{2})\beta'(1)\\ {}&=(\frac{4}{\pi})\ln(\frac{2}{\sqrt{\pi}})\Gamma(1)\beta(1)+\frac{1}{2}\frac{4}{\pi}\Gamma'(1)\beta(1)+\frac{4}{\pi}\Gamma(1)\beta'(1)\\ {}&=\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}-\frac{\gamma}{2}+\frac{4}{\pi}\beta'(1) \end{aligned} \]

여기서 다이감마 함수(digamma function)의 다음 값을 이용하였음 \[\psi(1) = -\gamma\,\!\] \[\Gamma'(1)=-\gamma\] \[\psi\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}= -2\ln{2} - \gamma\] \[\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)\]


  • \(\beta'(0)\)과 \(\beta'(1)\)의 관계

\[-\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\frac{\gamma}{2}-2\beta'(0)=\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}-\frac{\gamma}{2}+\frac{4}{\pi}\beta'(1)\] \[\beta'(1)=\frac{\pi}{4}(-2\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\gamma-2\beta'(0))=\frac{\pi}{4}(-2\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\gamma-2\ln\frac{\Gamma(1/4)}{2\Gamma(3/4)})\] \[=\frac{\pi}{4}(\ln 2+\ln \pi+ \gamma+2\ln\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)})\]

따라서 \[\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\]


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