정수에서의 리만제타함수의 값

수학노트
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개요

  • 홀수인 자연수를 제외한 모든 정수에 대하여 리만제타함수의 값은 닫힌 형태로 알려져 있음.\[\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\]여기서 \(B_{2n}\)은 베르누이수. \[\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}, n \ge 1\] 또는\(\zeta(1-2n)=-\frac{B_{2n}}{2n}, n \ge 1\)\[\zeta(0)=-\frac{1}{2}\]
  • 참고로 베르누이 수의 처음 몇개는 다음과 같음

\(B_0=1\), \(B_1=-{1 \over 2}\), \(B_2={1\over 6}\), \(B_3=0\), \(B_4=-\frac{1}{30}\), \(B_5=0\), \(B_6=\frac{1}{42}\), \(B_8=-\frac{1}{30}\), \(B_{10}=\frac{5}{66}\), \(B_{12}=-\frac{691}{2730}\),\(B_{14}=\frac{7}{6}\)

 

 

유수정리를 이용한 증명

\(\zeta(4)\) 를 구하는 방법을 통해서 일반적인 경우의 증명도 알 수 있다. \(\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz\)

\(C_{R}\)는 원점을 중심으로 반지금이\(R\) 인 원

반지름을\(R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})\) 형태로 잡아 크게 하면, 적분은 0으로 수렴한다.

유수정리를 사용하자. 

0이 아닌 정수 \(k\)에 대하여 \(z\approx k\) 이면,  \(\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}\)

한편\(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}\)의 0이 아닌 정수 \(k\)에서의 유수(residue)는  \(\frac{1}{k^{4}}\)로 주어진다. 

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)(코탄젠트 참조)

를 이용하면 0 에서의 유수는 \(-\pi^{4}/45\) 임을 알 수 있다.

그러므로 모든 유수의 합은 \(-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0\). 따라서  \(\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\) 를 얻는다.

일반적인 자연수 \(n\) 에 대하여도 마찬가지 방법으로

\(2\zeta(2n)+\frac{(-1)^n 2^{2n}B_{2n}\pi^{2n}}{(2n)!}=0\)

 \(\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\)

을 얻는다.

 

왓슨 변환(Watson transform)

 

 

맥클로린급수

  • 로그감마 함수의 맥클로린 급수는 다음으로 주어진다\[\log\Gamma(1+x) =-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}x^k\]
  • 코탄젠트의 맥클로린 급수\[\pi x\cot \pi x =-2 \sum_{n=0}^\infty \zeta(2n)x^{2n}\]

 

 

홀수에서의 리만제타함수의 값

  • \(\zeta(1)\) 는 발산한다.
  • \(\zeta(3), \zeta(5), \zeta(7), \cdots\) 의 닫힌 형식이 어떤 것인지는 아직 알려지지 않았다. (짝수에서의 값에 비해 훨씬 어려운 문제이다.)
  • \(\zeta(3)\) 이 무리수인 것은 Apéry가 1979년 증명했다. 초월성에 대해서는 아직 알려지지 않았다. ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리) 항목 참조.
  • 리만 제타 함수를 무리수로 만드는 홀수는 무한히 많다는 사실, 그리고 \(\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)\) 중 적어도 하나는 무리수라는 사실이 증명되어 있다.

 

 

역사

 

 

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