디리클레 L-함수의 미분

수학노트
(L-함수의 미분에서 넘어옴)
둘러보기로 이동 검색으로 이동

개요

  • <math>d_K</math>를 판별식으로 갖는 복소이차수체 <math>K</math>에 대하여, 디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴
<math>L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})</math>


예1

정리

수체 <math>K=\mathbb{Q}(i)</math>에 대하여 다음이 성립한다

<math>\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})</math>

여기서 <math>\beta</math>는 디리클레 베타함수

증명

<math>\chi</math>가 <math>\chi(1)=1,\chi(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, <math>L_{-4}</math>는 다음과 같이 쓸 수 있다.

<math>L(s):=L_{-4}(s) =\sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}</math>

이제 <math>L'(1)</math> 의 값을 구하자. 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)를 이용한 <math>L</math>-함수의 표현

<math>L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math>과 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function) 의 에르미트 표현
<math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}</math> 을 사용하면, 다음을 얻는다.
<math>L'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}</math>

따라서

<math>L'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-L(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}</math>

다음의 함수

<math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)</math>

가 만족시키는 함수방정식

<math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math>

을 사용하자. <math>L(0)=\frac{1}{2}</math> 을 쉽게 얻을 수 있다.

한편 다이감마 함수(digamma function) 의 값

<math>\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math>에서 <math>\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)</math>를 얻고, 이로부터
<math>L'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})</math>

를 얻는다.

따라서

<math>L'(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi})</math>


예2

  • 수체 <math>K=\mathbb{Q}(\omega)</math>, <math>\omega^2+\omega+1=0</math>에 대하여 다음이 성립한다
<math>L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})</math>


테이블

  • 아래의 표에서 <math>\epsilon=10^{-6}</math>
<math>

\begin{array}{c|c|c|c|c} K & L_K'(1-\epsilon ) & L_K'(\epsilon +1) & \sum _{a=1}^{\left|d_K\right|-1} \chi (a) \log \left(\Gamma \left(\frac{a}{\left|d_K\right|}\right)\right) & \sum _{a=1}^{\left|d_K\right|-1} \chi (a) \log \left(\Gamma \left(\frac{a}{\left|d_K\right|}\right)\right) \\ \hline \mathbb{Q}(i) & 0.1929015 & 0.1929012 & 0.1929013 & \frac{1}{4} \pi (\gamma +\log (2 \pi ))-\frac{1}{2} \pi \log \left(\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{\Gamma \left(\frac{3}{4}\right)}\right) \\ \mathbb{Q}\left(i \sqrt{2}\right) & -0.02300448 & -0.02300470 & -0.02300459 & \frac{\pi (\gamma +\log (2 \pi ))}{2 \sqrt{2}}-\frac{\pi \log \left(\frac{\Gamma \left(\frac{1}{8}\right) \Gamma \left(\frac{3}{8}\right)}{\Gamma \left(\frac{5}{8}\right) \Gamma \left(\frac{7}{8}\right)}\right)}{2 \sqrt{2}} \\ \mathbb{Q}\left(i \sqrt{3}\right) & 0.2226631 & 0.2226629 & 0.2226630 & \frac{\pi (\gamma +\log (2 \pi ))}{3 \sqrt{3}}-\frac{\pi \log \left(\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right)}\right)}{\sqrt{3}} \\ \mathbb{Q}\left(i \sqrt{5}\right) & -0.4460964 & -0.4460956 & -0.4460960 & \frac{\pi (\gamma +\log (2 \pi ))}{\sqrt{5}}-\frac{\pi \log \left(\frac{\Gamma \left(\frac{1}{20}\right) \Gamma \left(\frac{3}{20}\right) \Gamma \left(\frac{7}{20}\right) \Gamma \left(\frac{9}{20}\right)}{\Gamma \left(\frac{11}{20}\right) \Gamma \left(\frac{13}{20}\right) \Gamma \left(\frac{17}{20}\right) \Gamma \left(\frac{19}{20}\right)}\right)}{2 \sqrt{5}} \\ \mathbb{Q}\left(i \sqrt{6}\right) & -0.4226378 & -0.4226366 & -0.4226372 & \frac{\pi (\gamma +\log (2 \pi ))}{\sqrt{6}}-\frac{\pi \log \left(\frac{\Gamma \left(\frac{1}{24}\right) \Gamma \left(\frac{5}{24}\right) \Gamma \left(\frac{7}{24}\right) \Gamma \left(\frac{11}{24}\right)}{\Gamma \left(\frac{13}{24}\right) \Gamma \left(\frac{17}{24}\right) \Gamma \left(\frac{19}{24}\right) \Gamma \left(\frac{23}{24}\right)}\right)}{2 \sqrt{6}} \\ \mathbb{Q}\left(i \sqrt{7}\right) & 0.01856617 & 0.01856579 & 0.01856598 & \frac{\pi (\gamma +\log (2 \pi ))}{\sqrt{7}}-\frac{\pi \log \left(\frac{\Gamma \left(\frac{1}{7}\right) \Gamma \left(\frac{2}{7}\right) \Gamma \left(\frac{4}{7}\right)}{\Gamma \left(\frac{3}{7}\right) \Gamma \left(\frac{5}{7}\right) \Gamma \left(\frac{6}{7}\right)}\right)}{\sqrt{7}} \end{array} </math>


메모

<math>\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}</math>


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=디리클레_L-함수의_미분&oldid=33864"