Chowla-셀베르그 공식

수학노트
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개요


엡슈타인 제타함수

\[\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}\]



제1종 타원적분

\[\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1 \Rightarrow K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\] \[\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2} \Rightarrow K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}\] \[\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3} \Rightarrow K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots\]

  • lemniscate 곡선의 길이와 타원적분\[4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\]
  • 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})\]\[6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots\]



Chowla-셀베르그의 정리

정리

$k$에 대하여, 다음의 값 \[i\frac{K'}{K}(k):=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}\] 이 \(d_F\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(F=\mathbb{Q}(\sqrt{d_F})\)의 원소일 때, 제1종타원적분 K에 대하여 다음이 성립한다 \[{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{\frac{w_{F}}{4h_{F}}}\] 여기서 \(\lambda\)는 적당한 대수적수.


특수한 경우

\[\frac{2K(k)}{\pi}=\frac{2^{1/3}(kk')^{-1/6}}{\sqrt{2\pi p}}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{w_{F}/4}\] 여기서 $k$는 \(\frac{K'}{K}(k)=\sqrt{p}\)의 해이고, $k'=\sqrt{1-k^2}$.

  • \(p=3\)인 경우

\[\frac{2K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)}{\pi}=\frac{2^{2/3}}{\sqrt{6\pi}}\left(\frac{\Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(\frac{2}{3})}\right)^{3/2}\]

  • \(p=7\)인 경우

\[\frac{2K\left(\frac{1}{4} \sqrt{8-3 \sqrt{7}}\right)}{\pi}=\frac{2}{\sqrt{14\pi}}\sqrt{\frac{\Gamma(\frac{1}{7})\Gamma(\frac{2}{7})\Gamma(\frac{4}{7})}{\Gamma(\frac{3}{7})\Gamma(\frac{5}{7})\Gamma(\frac{6}{7})}}\]


증명의 아이디어

  • 복소 이차 수체 $K$의 데데킨트 제타함수 $\zeta_K(s)$의 $s=1$에서의 행동을 이해하여 얻어진다
  • \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\)
  • 디리클레 L-함수 $L(s, \chi)$
  • $\zeta_K(s)$는 다음과 같이 분해된다 (이차 수체의 데데킨트 제타함수 항목 참조)

\[\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(s,\chi)\]

  • $s=1$에서 다음이 성립한다

$$ \begin{align} \zeta(s)&=\frac{1}{s-1}+\gamma+\cdots \\ L(s,\chi)&=(\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}})+\left(\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\right)(s-1)+\cdots \end{align} $$

  • 따라서

$$ \zeta_{K}(s)=\frac{2 \pi h_K}{(s-1) w_K \sqrt{\left|d_K\right|}}+\frac{4 \pi \gamma h_K+2 \pi \log (2 \pi ) h_K-\pi w_K \sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})}{w_K \sqrt{\left|d_K\right|}}+O(s-1)+\cdots $$

  • 한편, $\zeta_K(s)$는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여진다

\[\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)\]

  • $K$가 복소 이차 수체일 때, $\zeta_{K}(s,A)$는 엡슈타인 제타함수가 되며, $s=1$에서의 행동은 크로네커 극한 공식으로 기술할 수 있다
  • 이렇게 두 가지 방법으로 얻어진 $\zeta_{K}(s)$의 $s=1$에서의 로랑전개의 상수항을 비교한다

메모



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